Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53127 / 26504
↖ ↑ ↗
← N 32.509762°
E111.835327°		 ← 515.08 m → N 32.509762°
E111.840820°		 →
↑
515.10 m
↓
↑
515.10 m
↓
N 32.505129°
E111.835327°		 ← 515.10 m →
265 321 m²		 N 32.505129°
E111.840820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810661315917969 y=0.404426574707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810661315917969 × 216)
    floor (0.810661315917969 × 65536)
    floor (53127.5)     		tx = 53127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404426574707031 × 216)
    floor (0.404426574707031 × 65536)
    floor (26504.5)     		ty = 26504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53127 / 26504 ti = "16/53127/26504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53127/26504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53127 ÷ 216
    53127 ÷ 65536     		x = 0.810653686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26504 ÷ 216
    26504 ÷ 65536     		y = 0.4044189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810653686523438 × 2 - 1) × π
    0.621307373046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.95189468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4044189453125 × 2 - 1) × π
    0.191162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.600553478440063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95189468} λ = 1.95189468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.600553478440063))-π/2
    2×atan(1.82312758300572)-π/2
    2×1.06909935405554-π/2
    2.13819870811108-1.57079632675     		φ = 0.56740238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95189468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.835327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56740238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.509762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53127 KachelY 26504 1.95189468 0.56740238 111.835327 32.509762
    Oben rechts KachelX + 1 53128 KachelY 26504 1.95199055 0.56740238 111.840820 32.509762
    Unten links KachelX 53127 KachelY + 1 26505 1.95189468 0.56732153 111.835327 32.505129
    Unten rechts KachelX + 1 53128 KachelY + 1 26505 1.95199055 0.56732153 111.840820 32.505129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56740238-0.56732153) × R
    8.08500000000212e-05 × 6371000     		dl = 515.095350000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56740238-0.56732153) × R
    8.08500000000212e-05 × 6371000     		dr = 515.095350000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95189468-1.95199055) × cos(0.56740238) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.843299892171876 × 6371000     		do = 515.07726058089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95189468-1.95199055) × cos(0.56732153) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.84334334170576 × 6371000     		du = 515.103799024798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56740238)-sin(0.56732153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.843299892171876-0.84334334170576)×R²
    abs(1.95199055-1.95189468)×4.34495338832441e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.34495338832441e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.34495338832441e-05×40589641000000     		ar = 265320.736874984m²