Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53125 / 22358
↖ ↑ ↗
← N 49.532339°
E111.824341°		 ← 396.41 m → N 49.532339°
E111.829834°		 →
↑
396.47 m
↓
↑
396.47 m
↓
N 49.528774°
E111.824341°		 ← 396.44 m →
157 170 m²		 N 49.528774°
E111.829834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810630798339844 y=0.341163635253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810630798339844 × 216)
    floor (0.810630798339844 × 65536)
    floor (53125.5)     		tx = 53125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341163635253906 × 216)
    floor (0.341163635253906 × 65536)
    floor (22358.5)     		ty = 22358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53125 / 22358 ti = "16/53125/22358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53125/22358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53125 ÷ 216
    53125 ÷ 65536     		x = 0.810623168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22358 ÷ 216
    22358 ÷ 65536     		y = 0.341156005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810623168945312 × 2 - 1) × π
    0.621246337890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.95170293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341156005859375 × 2 - 1) × π
    0.31768798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.998046250089569
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95170293} λ = 1.95170293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.998046250089569))-π/2
    2×atan(2.71297617023251)-π/2
    2×1.21764936597213-π/2
    2.43529873194426-1.57079632675     		φ = 0.86450241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95170293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.824341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86450241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.532339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53125 KachelY 22358 1.95170293 0.86450241 111.824341 49.532339
    Oben rechts KachelX + 1 53126 KachelY 22358 1.95179880 0.86450241 111.829834 49.532339
    Unten links KachelX 53125 KachelY + 1 22359 1.95170293 0.86444018 111.824341 49.528774
    Unten rechts KachelX + 1 53126 KachelY + 1 22359 1.95179880 0.86444018 111.829834 49.528774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86450241-0.86444018) × R
    6.2230000000052e-05 × 6371000     		dl = 396.467330000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86450241-0.86444018) × R
    6.2230000000052e-05 × 6371000     		dr = 396.467330000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95170293-1.95179880) × cos(0.86450241) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.649018748762898 × 6371000     		do = 396.412714245072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95170293-1.95179880) × cos(0.86444018) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.649066090373417 × 6371000     		du = 396.441629921789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86450241)-sin(0.86444018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649018748762898-0.649066090373417)×R²
    abs(1.95179880-1.95170293)×4.73416105185587e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73416105185587e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73416105185587e-05×40589641000000     		ar = 157170.422505943m²