Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53123 / 50001
↖ ↑ ↗
← S 68.303935°
E111.813354°		 ← 225.82 m → S 68.303935°
E111.818848°		 →
↑
225.85 m
↓
↑
225.85 m
↓
S 68.305966°
E111.813354°		 ← 225.80 m →
51 000 m²		 S 68.305966°
E111.818848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810600280761719 y=0.762962341308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810600280761719 × 216)
    floor (0.810600280761719 × 65536)
    floor (53123.5)     		tx = 53123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762962341308594 × 216)
    floor (0.762962341308594 × 65536)
    floor (50001.5)     		ty = 50001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53123 / 50001 ti = "16/53123/50001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53123/50001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53123 ÷ 216
    53123 ÷ 65536     		x = 0.810592651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50001 ÷ 216
    50001 ÷ 65536     		y = 0.762954711914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810592651367188 × 2 - 1) × π
    0.621185302734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.95151118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762954711914062 × 2 - 1) × π
    -0.525909423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65219318230486
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95151118} λ = 1.95151118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65219318230486))-π/2
    2×atan(0.191629169706736)-π/2
    2×0.189333881447082-π/2
    0.378667762894164-1.57079632675     		φ = -1.19212856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95151118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.813354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19212856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.303935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53123 KachelY 50001 1.95151118 -1.19212856 111.813354 -68.303935
    Oben rechts KachelX + 1 53124 KachelY 50001 1.95160706 -1.19212856 111.818848 -68.303935
    Unten links KachelX 53123 KachelY + 1 50002 1.95151118 -1.19216401 111.813354 -68.305966
    Unten rechts KachelX + 1 53124 KachelY + 1 50002 1.95160706 -1.19216401 111.818848 -68.305966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19212856--1.19216401) × R
    3.54499999999369e-05 × 6371000     		dl = 225.851949999598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19212856--1.19216401) × R
    3.54499999999369e-05 × 6371000     		dr = 225.851949999598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95151118-1.95160706) × cos(-1.19212856) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.369682942751855 × 6371000     		do = 225.821372710578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95151118-1.95160706) × cos(-1.19216401) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.369650003869752 × 6371000     		du = 225.801251945696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19212856)-sin(-1.19216401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369682942751855-0.369650003869752)×R²
    abs(1.95160706-1.95151118)×3.29388821032617e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.29388821032617e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.29388821032617e-05×40589641000000     		ar = 50999.9252265183m²