Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5312 / 7870
↖ ↑ ↗
← N 67.883815°
W121.640625°		 ← 459.93 m → N 67.883815°
W121.629639°		 →
↑
459.92 m
↓
↑
459.92 m
↓
N 67.879679°
W121.640625°		 ← 460.01 m →
211 551 m²		 N 67.879679°
W121.629639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162124633789062 y=0.240188598632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162124633789062 × 215)
    floor (0.162124633789062 × 32768)
    floor (5312.5)     		tx = 5312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.240188598632812 × 215)
    floor (0.240188598632812 × 32768)
    floor (7870.5)     		ty = 7870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5312 / 7870 ti = "15/5312/7870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5312/7870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5312 ÷ 215
    5312 ÷ 32768     		x = 0.162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7870 ÷ 215
    7870 ÷ 32768     		y = 0.24017333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162109375 × 2 - 1) × π
    -0.67578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.12302941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24017333984375 × 2 - 1) × π
    0.5196533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.63253905346063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12302941} λ = -2.12302941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63253905346063))-π/2
    2×atan(5.11685019504688)-π/2
    2×1.37779620553173-π/2
    2.75559241106345-1.57079632675     		φ = 1.18479608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12302941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.640625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18479608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.883815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5312 KachelY 7870 -2.12302941 1.18479608 -121.640625 67.883815
    Oben rechts KachelX + 1 5313 KachelY 7870 -2.12283766 1.18479608 -121.629639 67.883815
    Unten links KachelX 5312 KachelY + 1 7871 -2.12302941 1.18472389 -121.640625 67.879679
    Unten rechts KachelX + 1 5313 KachelY + 1 7871 -2.12283766 1.18472389 -121.629639 67.879679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18479608-1.18472389) × R
    7.21900000000275e-05 × 6371000     		dl = 459.922490000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18479608-1.18472389) × R
    7.21900000000275e-05 × 6371000     		dr = 459.922490000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12302941--2.12283766) × cos(1.18479608) × R
    0.000191749999999935 × 0.376485975882467 × 6371000     		do = 459.930045212419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12302941--2.12283766) × cos(1.18472389) × R
    0.000191749999999935 × 0.376552853328485 × 6371000     		du = 460.011745325414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18479608)-sin(1.18472389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376485975882467-0.376552853328485)×R²
    abs(-2.12283766--2.12302941)×6.68774460179655e-05×R²
    0.000191749999999935×6.68774460179655e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.68774460179655e-05×40589641000000     		ar = 211550.959571569m²