Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53119 / 26753
↖ ↑ ↗
← N 31.348946°
E111.791382°		 ← 521.62 m → N 31.348946°
E111.796875°		 →
↑
521.66 m
↓
↑
521.66 m
↓
N 31.344254°
E111.791382°		 ← 521.65 m →
272 115 m²		 N 31.344254°
E111.796875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810539245605469 y=0.408226013183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810539245605469 × 216)
    floor (0.810539245605469 × 65536)
    floor (53119.5)     		tx = 53119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408226013183594 × 216)
    floor (0.408226013183594 × 65536)
    floor (26753.5)     		ty = 26753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53119 / 26753 ti = "16/53119/26753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53119/26753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53119 ÷ 216
    53119 ÷ 65536     		x = 0.810531616210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26753 ÷ 216
    26753 ÷ 65536     		y = 0.408218383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810531616210938 × 2 - 1) × π
    0.621063232421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.95112769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408218383789062 × 2 - 1) × π
    0.183563232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.576680902429275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95112769} λ = 1.95112769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.576680902429275))-π/2
    2×atan(1.78012022192274)-π/2
    2×1.05896932414599-π/2
    2.11793864829199-1.57079632675     		φ = 0.54714232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95112769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.791382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54714232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.348946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53119 KachelY 26753 1.95112769 0.54714232 111.791382 31.348946
    Oben rechts KachelX + 1 53120 KachelY 26753 1.95122356 0.54714232 111.796875 31.348946
    Unten links KachelX 53119 KachelY + 1 26754 1.95112769 0.54706044 111.791382 31.344254
    Unten rechts KachelX + 1 53120 KachelY + 1 26754 1.95122356 0.54706044 111.796875 31.344254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54714232-0.54706044) × R
    8.18799999999786e-05 × 6371000     		dl = 521.657479999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54714232-0.54706044) × R
    8.18799999999786e-05 × 6371000     		dr = 521.657479999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95112769-1.95122356) × cos(0.54714232) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.85401471186886 × 6371000     		do = 521.621741409562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95112769-1.95122356) × cos(0.54706044) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.854057306982321 × 6371000     		du = 521.647757983926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54714232)-sin(0.54706044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85401471186886-0.854057306982321)×R²
    abs(1.95122356-1.95112769)×4.25951134612745e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.25951134612745e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.25951134612745e-05×40589641000000     		ar = 272114.669158902m²