Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53117 / 21362
↖ ↑ ↗
← N 52.955257°
E111.780395°		 ← 367.96 m → N 52.955257°
E111.785888°		 →
↑
367.99 m
↓
↑
367.99 m
↓
N 52.951948°
E111.780395°		 ← 367.99 m →
135 411 m²		 N 52.951948°
E111.785888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810508728027344 y=0.325965881347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810508728027344 × 216)
    floor (0.810508728027344 × 65536)
    floor (53117.5)     		tx = 53117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325965881347656 × 216)
    floor (0.325965881347656 × 65536)
    floor (21362.5)     		ty = 21362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53117 / 21362 ti = "16/53117/21362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53117/21362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53117 ÷ 216
    53117 ÷ 65536     		x = 0.810501098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21362 ÷ 216
    21362 ÷ 65536     		y = 0.325958251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810501098632812 × 2 - 1) × π
    0.621002197265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.95093594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325958251953125 × 2 - 1) × π
    0.34808349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09353655413272
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95093594} λ = 1.95093594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09353655413272))-π/2
    2×atan(2.98481137571505)-π/2
    2×1.2475199586449-π/2
    2.4950399172898-1.57079632675     		φ = 0.92424359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95093594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.780395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92424359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.955257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53117 KachelY 21362 1.95093594 0.92424359 111.780395 52.955257
    Oben rechts KachelX + 1 53118 KachelY 21362 1.95103181 0.92424359 111.785888 52.955257
    Unten links KachelX 53117 KachelY + 1 21363 1.95093594 0.92418583 111.780395 52.951948
    Unten rechts KachelX + 1 53118 KachelY + 1 21363 1.95103181 0.92418583 111.785888 52.951948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92424359-0.92418583) × R
    5.77600000000178e-05 × 6371000     		dl = 367.988960000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92424359-0.92418583) × R
    5.77600000000178e-05 × 6371000     		dr = 367.988960000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95093594-1.95103181) × cos(0.92424359) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.602438504884344 × 6371000     		do = 367.962070960434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95093594-1.95103181) × cos(0.92418583) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.602484605907175 × 6371000     		du = 367.990228901364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92424359)-sin(0.92418583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602438504884344-0.602484605907175)×R²
    abs(1.95103181-1.95093594)×4.6101022831202e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6101022831202e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6101022831202e-05×40589641000000     		ar = 135411.160755358m²