Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53114 / 22408
↖ ↑ ↗
← N 49.353756°
E111.763916°		 ← 397.86 m → N 49.353756°
E111.769409°		 →
↑
397.93 m
↓
↑
397.93 m
↓
N 49.350177°
E111.763916°		 ← 397.89 m →
158 327 m²		 N 49.350177°
E111.769409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810462951660156 y=0.341926574707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810462951660156 × 216)
    floor (0.810462951660156 × 65536)
    floor (53114.5)     		tx = 53114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341926574707031 × 216)
    floor (0.341926574707031 × 65536)
    floor (22408.5)     		ty = 22408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53114 / 22408 ti = "16/53114/22408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53114/22408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53114 ÷ 216
    53114 ÷ 65536     		x = 0.810455322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22408 ÷ 216
    22408 ÷ 65536     		y = 0.3419189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810455322265625 × 2 - 1) × π
    0.62091064453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.95064832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3419189453125 × 2 - 1) × π
    0.316162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.993252560127563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95064832} λ = 1.95064832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.993252560127563))-π/2
    2×atan(2.70000212521749)-π/2
    2×1.21609093114295-π/2
    2.43218186228589-1.57079632675     		φ = 0.86138554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95064832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.763916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86138554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.353756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53114 KachelY 22408 1.95064832 0.86138554 111.763916 49.353756
    Oben rechts KachelX + 1 53115 KachelY 22408 1.95074419 0.86138554 111.769409 49.353756
    Unten links KachelX 53114 KachelY + 1 22409 1.95064832 0.86132308 111.763916 49.350177
    Unten rechts KachelX + 1 53115 KachelY + 1 22409 1.95074419 0.86132308 111.769409 49.350177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86138554-0.86132308) × R
    6.24599999999864e-05 × 6371000     		dl = 397.932659999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86138554-0.86132308) × R
    6.24599999999864e-05 × 6371000     		dr = 397.932659999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95064832-1.95074419) × cos(0.86138554) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.651386821066532 × 6371000     		do = 397.859103846607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95064832-1.95074419) × cos(0.86132308) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.651434211059393 × 6371000     		du = 397.888049074668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86138554)-sin(0.86132308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651386821066532-0.651434211059393)×R²
    abs(1.95074419-1.95064832)×4.73899928616905e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73899928616905e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73899928616905e-05×40589641000000     		ar = 158326.890676449m²