Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53114 / 21417
↖ ↑ ↗
← N 52.772863°
E111.763916°		 ← 369.51 m → N 52.772863°
E111.769409°		 →
↑
369.58 m
↓
↑
369.58 m
↓
N 52.769539°
E111.763916°		 ← 369.54 m →
136 570 m²		 N 52.769539°
E111.769409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810462951660156 y=0.326805114746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810462951660156 × 216)
    floor (0.810462951660156 × 65536)
    floor (53114.5)     		tx = 53114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326805114746094 × 216)
    floor (0.326805114746094 × 65536)
    floor (21417.5)     		ty = 21417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53114 / 21417 ti = "16/53114/21417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53114/21417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53114 ÷ 216
    53114 ÷ 65536     		x = 0.810455322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21417 ÷ 216
    21417 ÷ 65536     		y = 0.326797485351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810455322265625 × 2 - 1) × π
    0.62091064453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.95064832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326797485351562 × 2 - 1) × π
    0.346405029296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08826349517451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95064832} λ = 1.95064832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08826349517451))-π/2
    2×atan(2.96911371307505)-π/2
    2×1.24592826726431-π/2
    2.49185653452862-1.57079632675     		φ = 0.92106021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95064832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.763916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92106021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.772863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53114 KachelY 21417 1.95064832 0.92106021 111.763916 52.772863
    Oben rechts KachelX + 1 53115 KachelY 21417 1.95074419 0.92106021 111.769409 52.772863
    Unten links KachelX 53114 KachelY + 1 21418 1.95064832 0.92100220 111.763916 52.769539
    Unten rechts KachelX + 1 53115 KachelY + 1 21418 1.95074419 0.92100220 111.769409 52.769539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92106021-0.92100220) × R
    5.80100000000527e-05 × 6371000     		dl = 369.581710000336m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92106021-0.92100220) × R
    5.80100000000527e-05 × 6371000     		dr = 369.581710000336m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95064832-1.95074419) × cos(0.92106021) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.604976311523306 × 6371000     		do = 369.512132218137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95064832-1.95074419) × cos(0.92100220) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.605022500589017 × 6371000     		du = 369.540343934581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92106021)-sin(0.92100220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604976311523306-0.605022500589017)×R²
    abs(1.95074419-1.95064832)×4.61890657106334e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.61890657106334e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.61890657106334e-05×40589641000000     		ar = 136570.138996506m²