Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53113 / 11673
↖ ↑ ↗
← N 81.350967°
W 34.120788°		 ← 45.92 m → N 81.350967°
W 34.118042°		 →
↑
45.93 m
↓
↑
45.93 m
↓
N 81.350554°
W 34.120788°		 ← 45.92 m →
2 109 m²		 N 81.350554°
W 34.118042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405223846435547 y=0.0890617370605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405223846435547 × 217)
    floor (0.405223846435547 × 131072)
    floor (53113.5)     		tx = 53113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0890617370605469 × 217)
    floor (0.0890617370605469 × 131072)
    floor (11673.5)     		ty = 11673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53113 / 11673 ti = "17/53113/11673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53113/11673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53113 ÷ 217
    53113 ÷ 131072     		x = 0.405220031738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11673 ÷ 217
    11673 ÷ 131072     		y = 0.0890579223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405220031738281 × 2 - 1) × π
    -0.189559936523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.59552010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0890579223632812 × 2 - 1) × π
    0.821884155273438 × 3.1415926535     		Φ = 2.58202522423508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59552010} λ = -0.59552010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58202522423508))-π/2
    2×atan(13.2238924062229)-π/2
    2×1.49531927967832-π/2
    2.99063855935664-1.57079632675     		φ = 1.41984223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59552010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.120788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41984223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.350967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53113 KachelY 11673 -0.59552010 1.41984223 -34.120788 81.350967
    Oben rechts KachelX + 1 53114 KachelY 11673 -0.59547217 1.41984223 -34.118042 81.350967
    Unten links KachelX 53113 KachelY + 1 11674 -0.59552010 1.41983502 -34.120788 81.350554
    Unten rechts KachelX + 1 53114 KachelY + 1 11674 -0.59547217 1.41983502 -34.118042 81.350554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41984223-1.41983502) × R
    7.20999999992422e-06 × 6371000     		dl = 45.9349099995172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41984223-1.41983502) × R
    7.20999999992422e-06 × 6371000     		dr = 45.9349099995172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59552010--0.59547217) × cos(1.41984223) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.150381447630005 × 6371000     		do = 45.920784122665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59552010--0.59547217) × cos(1.41983502) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.150388575634333 × 6371000     		du = 45.9229607445364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41984223)-sin(1.41983502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150381447630005-0.150388575634333)×R²
    abs(-0.59547217--0.59552010)×7.12800432786653e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.12800432786653e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.12800432786653e-06×40589641000000     		ar = 2109.41707716766m²