Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53112 / 94076
↖ ↑ ↗
← S 61.433515°
W 34.123535°		 ← 146.05 m → S 61.433515°
W 34.120788°		 →
↑
146.02 m
↓
↑
146.02 m
↓
S 61.434828°
W 34.123535°		 ← 146.04 m →
21 326 m²		 S 61.434828°
W 34.120788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405216217041016 y=0.717746734619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405216217041016 × 217)
    floor (0.405216217041016 × 131072)
    floor (53112.5)     		tx = 53112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717746734619141 × 217)
    floor (0.717746734619141 × 131072)
    floor (94076.5)     		ty = 94076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53112 / 94076 ti = "17/53112/94076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53112/94076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53112 ÷ 217
    53112 ÷ 131072     		x = 0.40521240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94076 ÷ 217
    94076 ÷ 131072     		y = 0.717742919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40521240234375 × 2 - 1) × π
    -0.1895751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59556804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717742919921875 × 2 - 1) × π
    -0.43548583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.3681191151564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59556804} λ = -0.59556804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3681191151564))-π/2
    2×atan(0.254585355244242)-π/2
    2×0.249289613742399-π/2
    0.498579227484797-1.57079632675     		φ = -1.07221710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59556804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.123535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07221710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.433515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53112 KachelY 94076 -0.59556804 -1.07221710 -34.123535 -61.433515
    Oben rechts KachelX + 1 53113 KachelY 94076 -0.59552010 -1.07221710 -34.120788 -61.433515
    Unten links KachelX 53112 KachelY + 1 94077 -0.59556804 -1.07224002 -34.123535 -61.434828
    Unten rechts KachelX + 1 53113 KachelY + 1 94077 -0.59552010 -1.07224002 -34.120788 -61.434828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07221710--1.07224002) × R
    2.29199999999263e-05 × 6371000     		dl = 146.023319999531m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07221710--1.07224002) × R
    2.29199999999263e-05 × 6371000     		dr = 146.023319999531m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59556804--0.59552010) × cos(-1.07221710) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.478178209351207 × 6371000     		do = 146.047933442872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59556804--0.59552010) × cos(-1.07224002) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.478158079441525 × 6371000     		du = 146.041785250311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07221710)-sin(-1.07224002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478178209351207-0.478158079441525)×R²
    abs(-0.59552010--0.59556804)×2.01299096817542e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01299096817542e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01299096817542e-05×40589641000000     		ar = 21325.9552315449m²