Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53112 / 11672
↖ ↑ ↗
← N 81.351380°
W 34.123535°		 ← 45.93 m → N 81.351380°
W 34.120788°		 →
↑
45.93 m
↓
↑
45.93 m
↓
N 81.350967°
W 34.123535°		 ← 45.93 m →
2 110 m²		 N 81.350967°
W 34.120788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405216217041016 y=0.0890541076660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405216217041016 × 217)
    floor (0.405216217041016 × 131072)
    floor (53112.5)     		tx = 53112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0890541076660156 × 217)
    floor (0.0890541076660156 × 131072)
    floor (11672.5)     		ty = 11672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53112 / 11672 ti = "17/53112/11672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53112/11672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53112 ÷ 217
    53112 ÷ 131072     		x = 0.40521240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11672 ÷ 217
    11672 ÷ 131072     		y = 0.08905029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40521240234375 × 2 - 1) × π
    -0.1895751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59556804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08905029296875 × 2 - 1) × π
    0.8218994140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.5820731611347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59556804} λ = -0.59556804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5820731611347))-π/2
    2×atan(13.2245263338199)-π/2
    2×1.49532288400303-π/2
    2.99064576800606-1.57079632675     		φ = 1.41984944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59556804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.123535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41984944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.351380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53112 KachelY 11672 -0.59556804 1.41984944 -34.123535 81.351380
    Oben rechts KachelX + 1 53113 KachelY 11672 -0.59552010 1.41984944 -34.120788 81.351380
    Unten links KachelX 53112 KachelY + 1 11673 -0.59556804 1.41984223 -34.123535 81.350967
    Unten rechts KachelX + 1 53113 KachelY + 1 11673 -0.59552010 1.41984223 -34.120788 81.350967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41984944-1.41984223) × R
    7.20999999992422e-06 × 6371000     		dl = 45.9349099995172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41984944-1.41984223) × R
    7.20999999992422e-06 × 6371000     		dr = 45.9349099995172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59556804--0.59552010) × cos(1.41984944) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150374319617859 × 6371000     		do = 45.9281878462511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59556804--0.59552010) × cos(1.41984223) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150381447630005 × 6371000     		du = 45.9303649246353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41984944)-sin(1.41984223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150374319617859-0.150381447630005)×R²
    abs(-0.59552010--0.59556804)×7.12801214527992e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.12801214527992e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.12801214527992e-06×40589641000000     		ar = 2109.75717712538m²