Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53111 / 94075
↖ ↑ ↗
← S 61.432201°
W 34.126282°		 ← 146.05 m → S 61.432201°
W 34.123535°		 →
↑
146.02 m
↓
↑
146.02 m
↓
S 61.433515°
W 34.126282°		 ← 146.05 m →
21 327 m²		 S 61.433515°
W 34.123535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405208587646484 y=0.717739105224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405208587646484 × 217)
    floor (0.405208587646484 × 131072)
    floor (53111.5)     		tx = 53111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717739105224609 × 217)
    floor (0.717739105224609 × 131072)
    floor (94075.5)     		ty = 94075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53111 / 94075 ti = "17/53111/94075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53111/94075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53111 ÷ 217
    53111 ÷ 131072     		x = 0.405204772949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94075 ÷ 217
    94075 ÷ 131072     		y = 0.717735290527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405204772949219 × 2 - 1) × π
    -0.189590454101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.59561598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717735290527344 × 2 - 1) × π
    -0.435470581054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.36807117825678
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59561598} λ = -0.59561598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36807117825678))-π/2
    2×atan(0.254597559569378)-π/2
    2×0.249301075174092-π/2
    0.498602150348183-1.57079632675     		φ = -1.07219418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59561598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.126282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07219418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.432201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53111 KachelY 94075 -0.59561598 -1.07219418 -34.126282 -61.432201
    Oben rechts KachelX + 1 53112 KachelY 94075 -0.59556804 -1.07219418 -34.123535 -61.432201
    Unten links KachelX 53111 KachelY + 1 94076 -0.59561598 -1.07221710 -34.126282 -61.433515
    Unten rechts KachelX + 1 53112 KachelY + 1 94076 -0.59556804 -1.07221710 -34.123535 -61.433515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07219418--1.07221710) × R
    2.29199999999263e-05 × 6371000     		dl = 146.023319999531m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07219418--1.07221710) × R
    2.29199999999263e-05 × 6371000     		dr = 146.023319999531m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59561598--0.59556804) × cos(-1.07219418) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.478198339009689 × 6371000     		do = 146.054081559048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59561598--0.59556804) × cos(-1.07221710) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.478178209351207 × 6371000     		du = 146.04793344321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07219418)-sin(-1.07221710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478198339009689-0.478178209351207)×R²
    abs(-0.59556804--0.59561598)×2.01296584820265e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.01296584820265e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.01296584820265e-05×40589641000000     		ar = 21326.8530053929m²