Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53110 / 49962
↖ ↑ ↗
← S 68.224599°
E111.741943°		 ← 226.61 m → S 68.224599°
E111.747437°		 →
↑
226.55 m
↓
↑
226.55 m
↓
S 68.226637°
E111.741943°		 ← 226.59 m →
51 336 m²		 S 68.226637°
E111.747437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810401916503906 y=0.762367248535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810401916503906 × 216)
    floor (0.810401916503906 × 65536)
    floor (53110.5)     		tx = 53110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762367248535156 × 216)
    floor (0.762367248535156 × 65536)
    floor (49962.5)     		ty = 49962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53110 / 49962 ti = "16/53110/49962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53110/49962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53110 ÷ 216
    53110 ÷ 65536     		x = 0.810394287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49962 ÷ 216
    49962 ÷ 65536     		y = 0.762359619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810394287109375 × 2 - 1) × π
    0.62078857421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.95026482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762359619140625 × 2 - 1) × π
    -0.52471923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64845410413449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95026482} λ = 1.95026482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64845410413449))-π/2
    2×atan(0.192347027378621)-π/2
    2×0.190026219892992-π/2
    0.380052439785984-1.57079632675     		φ = -1.19074389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95026482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.741943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19074389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.224599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53110 KachelY 49962 1.95026482 -1.19074389 111.741943 -68.224599
    Oben rechts KachelX + 1 53111 KachelY 49962 1.95036070 -1.19074389 111.747437 -68.224599
    Unten links KachelX 53110 KachelY + 1 49963 1.95026482 -1.19077945 111.741943 -68.226637
    Unten rechts KachelX + 1 53111 KachelY + 1 49963 1.95036070 -1.19077945 111.747437 -68.226637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19074389--1.19077945) × R
    3.55599999999345e-05 × 6371000     		dl = 226.552759999583m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19074389--1.19077945) × R
    3.55599999999345e-05 × 6371000     		dr = 226.552759999583m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95026482-1.95036070) × cos(-1.19074389) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.370969165100039 × 6371000     		do = 226.607063536099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95026482-1.95036070) × cos(-1.19077945) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.37093614224274 × 6371000     		du = 226.586891474845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19074389)-sin(-1.19077945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370969165100039-0.37093614224274)×R²
    abs(1.95036070-1.95026482)×3.30228572986702e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.30228572986702e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.30228572986702e-05×40589641000000     		ar = 51336.1706666867m²