Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53110 / 11638
↖ ↑ ↗
← N 81.365412°
W 34.129028°		 ← 45.84 m → N 81.365412°
W 34.126282°		 →
↑
45.81 m
↓
↑
45.81 m
↓
N 81.365000°
W 34.129028°		 ← 45.85 m →
2 100 m²		 N 81.365000°
W 34.126282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405200958251953 y=0.0887947082519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405200958251953 × 217)
    floor (0.405200958251953 × 131072)
    floor (53110.5)     		tx = 53110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0887947082519531 × 217)
    floor (0.0887947082519531 × 131072)
    floor (11638.5)     		ty = 11638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53110 / 11638 ti = "17/53110/11638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53110/11638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53110 ÷ 217
    53110 ÷ 131072     		x = 0.405197143554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11638 ÷ 217
    11638 ÷ 131072     		y = 0.0887908935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405197143554688 × 2 - 1) × π
    -0.189605712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59566391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0887908935546875 × 2 - 1) × π
    0.822418212890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58370301572179
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59566391} λ = -0.59566391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58370301572179))-π/2
    2×atan(13.2460979632613)-π/2
    2×1.49544532946213-π/2
    2.99089065892426-1.57079632675     		φ = 1.42009433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59566391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.129028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42009433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.365412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53110 KachelY 11638 -0.59566391 1.42009433 -34.129028 81.365412
    Oben rechts KachelX + 1 53111 KachelY 11638 -0.59561598 1.42009433 -34.126282 81.365412
    Unten links KachelX 53110 KachelY + 1 11639 -0.59566391 1.42008714 -34.129028 81.365000
    Unten rechts KachelX + 1 53111 KachelY + 1 11639 -0.59561598 1.42008714 -34.126282 81.365000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42009433-1.42008714) × R
    7.19000000004577e-06 × 6371000     		dl = 45.8074900002916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42009433-1.42008714) × R
    7.19000000004577e-06 × 6371000     		dr = 45.8074900002916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59566391--0.59561598) × cos(1.42009433) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.15013220972267 × 6371000     		do = 45.8446763292221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59566391--0.59561598) × cos(1.42008714) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.15013931822682 × 6371000     		du = 45.8468469964798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42009433)-sin(1.42008714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15013220972267-0.15013931822682)×R²
    abs(-0.59561598--0.59566391)×7.10850415044928e-06×R²
    4.79299999999183e-05×7.10850415044928e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×7.10850415044928e-06×40589641000000     		ar = 2100.07926901151m²