Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53108 / 49996
↖ ↑ ↗
← S 68.293779°
E111.730957°		 ← 225.90 m → S 68.293779°
E111.736450°		 →
↑
225.92 m
↓
↑
225.92 m
↓
S 68.295811°
E111.730957°		 ← 225.88 m →
51 032 m²		 S 68.295811°
E111.736450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810371398925781 y=0.762886047363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810371398925781 × 216)
    floor (0.810371398925781 × 65536)
    floor (53108.5)     		tx = 53108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762886047363281 × 216)
    floor (0.762886047363281 × 65536)
    floor (49996.5)     		ty = 49996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53108 / 49996 ti = "16/53108/49996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53108/49996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53108 ÷ 216
    53108 ÷ 65536     		x = 0.81036376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49996 ÷ 216
    49996 ÷ 65536     		y = 0.76287841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81036376953125 × 2 - 1) × π
    0.6207275390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.95007308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76287841796875 × 2 - 1) × π
    -0.5257568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65171381330865
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95007308} λ = 1.95007308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65171381330865))-π/2
    2×atan(0.191721052810658)-π/2
    2×0.18942250845253-π/2
    0.37884501690506-1.57079632675     		φ = -1.19195131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95007308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.730957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19195131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.293779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53108 KachelY 49996 1.95007308 -1.19195131 111.730957 -68.293779
    Oben rechts KachelX + 1 53109 KachelY 49996 1.95016895 -1.19195131 111.736450 -68.293779
    Unten links KachelX 53108 KachelY + 1 49997 1.95007308 -1.19198677 111.730957 -68.295811
    Unten rechts KachelX + 1 53109 KachelY + 1 49997 1.95016895 -1.19198677 111.736450 -68.295811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19195131--1.19198677) × R
    3.54599999998761e-05 × 6371000     		dl = 225.915659999211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19195131--1.19198677) × R
    3.54599999998761e-05 × 6371000     		dr = 225.915659999211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95007308-1.95016895) × cos(-1.19195131) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.369847630192822 × 6371000     		do = 225.898409285253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95007308-1.95016895) × cos(-1.19198677) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.369814684342985 × 6371000     		du = 225.878286363101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19195131)-sin(-1.19198677))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369847630192822-0.369814684342985)×R²
    abs(1.95016895-1.95007308)×3.29458498372071e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.29458498372071e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.29458498372071e-05×40589641000000     		ar = 51031.7151900123m²