Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53108 / 22564
↖ ↑ ↗
← N 48.792390°
E111.730957°		 ← 402.38 m → N 48.792390°
E111.736450°		 →
↑
402.39 m
↓
↑
402.39 m
↓
N 48.788771°
E111.730957°		 ← 402.41 m →
161 921 m²		 N 48.788771°
E111.736450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810371398925781 y=0.344306945800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810371398925781 × 216)
    floor (0.810371398925781 × 65536)
    floor (53108.5)     		tx = 53108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344306945800781 × 216)
    floor (0.344306945800781 × 65536)
    floor (22564.5)     		ty = 22564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53108 / 22564 ti = "16/53108/22564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53108/22564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53108 ÷ 216
    53108 ÷ 65536     		x = 0.81036376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22564 ÷ 216
    22564 ÷ 65536     		y = 0.34429931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81036376953125 × 2 - 1) × π
    0.6207275390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.95007308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34429931640625 × 2 - 1) × π
    0.3114013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.978296247446106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95007308} λ = 1.95007308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.978296247446106))-π/2
    2×atan(2.65992053276271)-π/2
    2×1.21119209281129-π/2
    2.42238418562258-1.57079632675     		φ = 0.85158786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95007308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.730957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85158786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.792390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53108 KachelY 22564 1.95007308 0.85158786 111.730957 48.792390
    Oben rechts KachelX + 1 53109 KachelY 22564 1.95016895 0.85158786 111.736450 48.792390
    Unten links KachelX 53108 KachelY + 1 22565 1.95007308 0.85152470 111.730957 48.788771
    Unten rechts KachelX + 1 53109 KachelY + 1 22565 1.95016895 0.85152470 111.736450 48.788771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85158786-0.85152470) × R
    6.3159999999951e-05 × 6371000     		dl = 402.392359999688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85158786-0.85152470) × R
    6.3159999999951e-05 × 6371000     		dr = 402.392359999688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95007308-1.95016895) × cos(0.85158786) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.658789386274791 × 6371000     		do = 402.380500142439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95007308-1.95016895) × cos(0.85152470) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.658836901960491 × 6371000     		du = 402.409522142148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85158786)-sin(0.85152470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658789386274791-0.658836901960491)×R²
    abs(1.95016895-1.95007308)×4.75156857002723e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75156857002723e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75156857002723e-05×40589641000000     		ar = 161920.678239586m²