Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53104 / 49953
↖ ↑ ↗
← S 68.206252°
E111.708984°		 ← 226.79 m → S 68.206252°
E111.714478°		 →
↑
226.81 m
↓
↑
226.81 m
↓
S 68.208291°
E111.708984°		 ← 226.77 m →
51 435 m²		 S 68.208291°
E111.714478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810310363769531 y=0.762229919433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810310363769531 × 216)
    floor (0.810310363769531 × 65536)
    floor (53104.5)     		tx = 53104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762229919433594 × 216)
    floor (0.762229919433594 × 65536)
    floor (49953.5)     		ty = 49953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53104 / 49953 ti = "16/53104/49953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53104/49953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53104 ÷ 216
    53104 ÷ 65536     		x = 0.810302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49953 ÷ 216
    49953 ÷ 65536     		y = 0.762222290039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810302734375 × 2 - 1) × π
    0.62060546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.94968958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762222290039062 × 2 - 1) × π
    -0.524444580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64759123994133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94968958} λ = 1.94968958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64759123994133))-π/2
    2×atan(0.192513068366316)-π/2
    2×0.190186332036058-π/2
    0.380372664072117-1.57079632675     		φ = -1.19042366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94968958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.708984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19042366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.206252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53104 KachelY 49953 1.94968958 -1.19042366 111.708984 -68.206252
    Oben rechts KachelX + 1 53105 KachelY 49953 1.94978546 -1.19042366 111.714478 -68.206252
    Unten links KachelX 53104 KachelY + 1 49954 1.94968958 -1.19045926 111.708984 -68.208291
    Unten rechts KachelX + 1 53105 KachelY + 1 49954 1.94978546 -1.19045926 111.714478 -68.208291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19042366--1.19045926) × R
    3.55999999999135e-05 × 6371000     		dl = 226.807599999449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19042366--1.19045926) × R
    3.55999999999135e-05 × 6371000     		dr = 226.807599999449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94968958-1.94978546) × cos(-1.19042366) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.371266526121429 × 6371000     		do = 226.788706955585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94968958-1.94978546) × cos(-1.19045926) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.37123347034842 × 6371000     		du = 226.76851478772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19042366)-sin(-1.19045926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371266526121429-0.37123347034842)×R²
    abs(1.94978546-1.94968958)×3.30557730091607e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.30557730091607e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.30557730091607e-05×40589641000000     		ar = 51435.1124686199m²