Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53102 / 49951
↖ ↑ ↗
← S 68.202173°
E111.697998°		 ← 226.83 m → S 68.202173°
E111.703491°		 →
↑
226.81 m
↓
↑
226.81 m
↓
S 68.204212°
E111.697998°		 ← 226.81 m →
51 444 m²		 S 68.204212°
E111.703491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810279846191406 y=0.762199401855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810279846191406 × 216)
    floor (0.810279846191406 × 65536)
    floor (53102.5)     		tx = 53102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762199401855469 × 216)
    floor (0.762199401855469 × 65536)
    floor (49951.5)     		ty = 49951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53102 / 49951 ti = "16/53102/49951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53102/49951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53102 ÷ 216
    53102 ÷ 65536     		x = 0.810272216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49951 ÷ 216
    49951 ÷ 65536     		y = 0.762191772460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810272216796875 × 2 - 1) × π
    0.62054443359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.94949783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762191772460938 × 2 - 1) × π
    -0.524383544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64739949234285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94949783} λ = 1.94949783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64739949234285))-π/2
    2×atan(0.192549985824156)-π/2
    2×0.190221929937055-π/2
    0.38044385987411-1.57079632675     		φ = -1.19035247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94949783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.697998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19035247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.202173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53102 KachelY 49951 1.94949783 -1.19035247 111.697998 -68.202173
    Oben rechts KachelX + 1 53103 KachelY 49951 1.94959371 -1.19035247 111.703491 -68.202173
    Unten links KachelX 53102 KachelY + 1 49952 1.94949783 -1.19038807 111.697998 -68.204212
    Unten rechts KachelX + 1 53103 KachelY + 1 49952 1.94959371 -1.19038807 111.703491 -68.204212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19035247--1.19038807) × R
    3.55999999999135e-05 × 6371000     		dl = 226.807599999449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19035247--1.19038807) × R
    3.55999999999135e-05 × 6371000     		dr = 226.807599999449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94949783-1.94959371) × cos(-1.19035247) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.371332626970821 × 6371000     		do = 226.829084757265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94949783-1.94959371) × cos(-1.19038807) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.371299572138779 × 6371000     		du = 226.808893164191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19035247)-sin(-1.19038807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371332626970821-0.371299572138779)×R²
    abs(1.94959371-1.94949783)×3.30548320428004e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.30548320428004e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.30548320428004e-05×40589641000000     		ar = 51444.2705259987m²