Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53101 / 22415
↖ ↑ ↗
← N 49.328702°
E111.692505°		 ← 398.06 m → N 49.328702°
E111.697998°		 →
↑
398.12 m
↓
↑
398.12 m
↓
N 49.325122°
E111.692505°		 ← 398.09 m →
158 484 m²		 N 49.325122°
E111.697998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810264587402344 y=0.342033386230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810264587402344 × 216)
    floor (0.810264587402344 × 65536)
    floor (53101.5)     		tx = 53101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342033386230469 × 216)
    floor (0.342033386230469 × 65536)
    floor (22415.5)     		ty = 22415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53101 / 22415 ti = "16/53101/22415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53101/22415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53101 ÷ 216
    53101 ÷ 65536     		x = 0.810256958007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22415 ÷ 216
    22415 ÷ 65536     		y = 0.342025756835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810256958007812 × 2 - 1) × π
    0.620513916015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.94940196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342025756835938 × 2 - 1) × π
    0.315948486328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.992581443532883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94940196} λ = 1.94940196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.992581443532883))-π/2
    2×atan(2.69819071688667)-π/2
    2×1.21587229723595-π/2
    2.4317445944719-1.57079632675     		φ = 0.86094827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94940196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.692505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86094827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.328702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53101 KachelY 22415 1.94940196 0.86094827 111.692505 49.328702
    Oben rechts KachelX + 1 53102 KachelY 22415 1.94949783 0.86094827 111.697998 49.328702
    Unten links KachelX 53101 KachelY + 1 22416 1.94940196 0.86088578 111.692505 49.325122
    Unten rechts KachelX + 1 53102 KachelY + 1 22416 1.94949783 0.86088578 111.697998 49.325122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86094827-0.86088578) × R
    6.24899999999151e-05 × 6371000     		dl = 398.123789999459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86094827-0.86088578) × R
    6.24899999999151e-05 × 6371000     		dr = 398.123789999459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94940196-1.94949783) × cos(0.86094827) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.651718535563556 × 6371000     		do = 398.061711004521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94940196-1.94949783) × cos(0.86088578) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.651765930513245 × 6371000     		du = 398.090659260151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86094827)-sin(0.86088578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651718535563556-0.651765930513245)×R²
    abs(1.94949783-1.94940196)×4.73949496887505e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73949496887505e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73949496887505e-05×40589641000000     		ar = 158483.59958499m²