Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53101 / 102000
↖ ↑ ↗
← S 70.244603°
W 34.153748°		 ← 103.24 m → S 70.244603°
W 34.151001°		 →
↑
103.27 m
↓
↑
103.27 m
↓
S 70.245532°
W 34.153748°		 ← 103.23 m →
10 661 m²		 S 70.245532°
W 34.151001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405132293701172 y=0.778202056884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405132293701172 × 217)
    floor (0.405132293701172 × 131072)
    floor (53101.5)     		tx = 53101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778202056884766 × 217)
    floor (0.778202056884766 × 131072)
    floor (102000.5)     		ty = 102000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53101 / 102000 ti = "17/53101/102000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53101/102000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53101 ÷ 217
    53101 ÷ 131072     		x = 0.405128479003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102000 ÷ 217
    102000 ÷ 131072     		y = 0.7781982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405128479003906 × 2 - 1) × π
    -0.189743041992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.59609535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7781982421875 × 2 - 1) × π
    -0.556396484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74797110774573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59609535} λ = -0.59609535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74797110774573))-π/2
    2×atan(0.174126869962173)-π/2
    2×0.172398356037804-π/2
    0.344796712075608-1.57079632675     		φ = -1.22599961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59609535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.153748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22599961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.244603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53101 KachelY 102000 -0.59609535 -1.22599961 -34.153748 -70.244603
    Oben rechts KachelX + 1 53102 KachelY 102000 -0.59604741 -1.22599961 -34.151001 -70.244603
    Unten links KachelX 53101 KachelY + 1 102001 -0.59609535 -1.22601582 -34.153748 -70.245532
    Unten rechts KachelX + 1 53102 KachelY + 1 102001 -0.59604741 -1.22601582 -34.151001 -70.245532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22599961--1.22601582) × R
    1.6210000000072e-05 × 6371000     		dl = 103.273910000459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22599961--1.22601582) × R
    1.6210000000072e-05 × 6371000     		dr = 103.273910000459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59609535--0.59604741) × cos(-1.22599961) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338005365427029 × 6371000     		do = 103.235538859453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59609535--0.59604741) × cos(-1.22601582) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337990109435417 × 6371000     		du = 103.230879286926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22599961)-sin(-1.22601582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338005365427029-0.337990109435417)×R²
    abs(-0.59604741--0.59609535)×1.52559916115069e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52559916115069e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52559916115069e-05×40589641000000     		ar = 10661.2971431511m²