Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53100 / 102001
↖ ↑ ↗
← S 70.245532°
W 34.156494°		 ← 103.21 m → S 70.245532°
W 34.153748°		 →
↑
103.21 m
↓
↑
103.21 m
↓
S 70.246460°
W 34.156494°		 ← 103.20 m →
10 652 m²		 S 70.246460°
W 34.153748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405124664306641 y=0.778209686279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405124664306641 × 217)
    floor (0.405124664306641 × 131072)
    floor (53100.5)     		tx = 53100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778209686279297 × 217)
    floor (0.778209686279297 × 131072)
    floor (102001.5)     		ty = 102001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53100 / 102001 ti = "17/53100/102001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53100/102001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53100 ÷ 217
    53100 ÷ 131072     		x = 0.405120849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102001 ÷ 217
    102001 ÷ 131072     		y = 0.778205871582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405120849609375 × 2 - 1) × π
    -0.18975830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59614328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778205871582031 × 2 - 1) × π
    -0.556411743164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.74801904464535
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59614328} λ = -0.59614328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74801904464535))-π/2
    2×atan(0.174118523059951)-π/2
    2×0.172390254756022-π/2
    0.344780509512045-1.57079632675     		φ = -1.22601582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59614328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.156494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22601582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.245532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53100 KachelY 102001 -0.59614328 -1.22601582 -34.156494 -70.245532
    Oben rechts KachelX + 1 53101 KachelY 102001 -0.59609535 -1.22601582 -34.153748 -70.245532
    Unten links KachelX 53100 KachelY + 1 102002 -0.59614328 -1.22603202 -34.156494 -70.246460
    Unten rechts KachelX + 1 53101 KachelY + 1 102002 -0.59609535 -1.22603202 -34.153748 -70.246460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22601582--1.22603202) × R
    1.61999999999107e-05 × 6371000     		dl = 103.210199999431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22601582--1.22603202) × R
    1.61999999999107e-05 × 6371000     		dr = 103.210199999431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59614328--0.59609535) × cos(-1.22601582) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.337990109435417 × 6371000     		do = 103.209345937184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59614328--0.59609535) × cos(-1.22603202) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.337974862766546 × 6371000     		du = 103.204690183427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22601582)-sin(-1.22603202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337990109435417-0.337974862766546)×R²
    abs(-0.59609535--0.59614328)×1.52466688715935e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.52466688715935e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.52466688715935e-05×40589641000000     		ar = 10652.0169755864m²