Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5310 / 6080
↖ ↑ ↗
← S 65.366837°
E 53.349609°		 ← 2 036.72 m → S 65.366837°
E 53.393555°		 →
↑
2 035.98 m
↓
↑
2 035.98 m
↓
S 65.385147°
E 53.349609°		 ← 2 035.30 m →
4 145 286 m²		 S 65.385147°
E 53.393555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64825439453125 y=0.74224853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64825439453125 × 213)
    floor (0.64825439453125 × 8192)
    floor (5310.5)     		tx = 5310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74224853515625 × 213)
    floor (0.74224853515625 × 8192)
    floor (6080.5)     		ty = 6080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5310 / 6080 ti = "13/5310/6080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5310/6080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5310 ÷ 213
    5310 ÷ 8192     		x = 0.648193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6080 ÷ 213
    6080 ÷ 8192     		y = 0.7421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.648193359375 × 2 - 1) × π
    0.29638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.93112634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7421875 × 2 - 1) × π
    -0.484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52170894153906
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93112634} λ = 0.93112634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52170894153906))-π/2
    2×atan(0.218338440313639)-π/2
    2×0.214964900714467-π/2
    0.429929801428934-1.57079632675     		φ = -1.14086653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93112634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.349609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14086653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.366837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5310 KachelY 6080 0.93112634 -1.14086653 53.349609 -65.366837
    Oben rechts KachelX + 1 5311 KachelY 6080 0.93189333 -1.14086653 53.393555 -65.366837
    Unten links KachelX 5310 KachelY + 1 6081 0.93112634 -1.14118610 53.349609 -65.385147
    Unten rechts KachelX + 1 5311 KachelY + 1 6081 0.93189333 -1.14118610 53.393555 -65.385147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14086653--1.14118610) × R
    0.000319570000000047 × 6371000     		dl = 2035.9804700003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14086653--1.14118610) × R
    0.000319570000000047 × 6371000     		dr = 2035.9804700003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93112634-0.93189333) × cos(-1.14086653) × R
    0.000766989999999912 × 0.416806989093035 × 6371000     		do = 2036.72455542798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93112634-0.93189333) × cos(-1.14118610) × R
    0.000766989999999912 × 0.416516480278439 × 6371000     		du = 2035.30498605478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14086653)-sin(-1.14118610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416806989093035-0.416516480278439)×R²
    abs(0.93189333-0.93112634)×0.00029050881459608×R²
    0.000766989999999912×0.00029050881459608×6371000²
    0.000766989999999912×0.00029050881459608×40589641000000     		ar = 4145286.34514144m²