Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 531 / 453
↖ ↑ ↗
← N 80.103470°
W133.330078°		 ← 1 679.69 m → N 80.103470°
W133.242187°		 →
↑
1 680.99 m
↓
↑
1 680.99 m
↓
N 80.088352°
W133.330078°		 ← 1 682.23 m →
2 825 672 m²		 N 80.088352°
W133.242187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1297607421875 y=0.1107177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1297607421875 × 212)
    floor (0.1297607421875 × 4096)
    floor (531.5)     		tx = 531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1107177734375 × 212)
    floor (0.1107177734375 × 4096)
    floor (453.5)     		ty = 453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 531 / 453 ti = "12/531/453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/531/453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 531 ÷ 212
    531 ÷ 4096     		x = 0.129638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 453 ÷ 212
    453 ÷ 4096     		y = 0.110595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129638671875 × 2 - 1) × π
    -0.74072265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.32704886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110595703125 × 2 - 1) × π
    0.77880859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.44669935660767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32704886} λ = -2.32704886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44669935660767))-π/2
    2×atan(11.5501607729594)-π/2
    2×1.48443280655801-π/2
    2.96886561311602-1.57079632675     		φ = 1.39806929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32704886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.330078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39806929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.103470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 531 KachelY 453 -2.32704886 1.39806929 -133.330078 80.103470
    Oben rechts KachelX + 1 532 KachelY 453 -2.32551487 1.39806929 -133.242187 80.103470
    Unten links KachelX 531 KachelY + 1 454 -2.32704886 1.39780544 -133.330078 80.088352
    Unten rechts KachelX + 1 532 KachelY + 1 454 -2.32551487 1.39780544 -133.242187 80.088352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39806929-1.39780544) × R
    0.000263850000000065 × 6371000     		dl = 1680.98835000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39806929-1.39780544) × R
    0.000263850000000065 × 6371000     		dr = 1680.98835000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32704886--2.32551487) × cos(1.39806929) × R
    0.00153398999999999 × 0.171869442578226 × 6371000     		do = 1679.68870563125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32704886--2.32551487) × cos(1.39780544) × R
    0.00153398999999999 × 0.172129360435112 × 6371000     		du = 1682.22889591787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39806929)-sin(1.39780544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171869442578226-0.172129360435112)×R²
    abs(-2.32551487--2.32704886)×0.000259917856886033×R²
    0.00153398999999999×0.000259917856886033×6371000²
    0.00153398999999999×0.000259917856886033×40589641000000     		ar = 2825672.17732572m²