Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 531 / 155
↖ ↑ ↗
← N 82.045740°
W 86.660156°		 ← 2 704.82 m → N 82.045740°
W 86.484375°		 →
↑
2 708.95 m
↓
↑
2 708.95 m
↓
N 82.021378°
W 86.660156°		 ← 2 713.05 m →
7 338 371 m²		 N 82.021378°
W 86.484375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.259521484375 y=0.075927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.259521484375 × 211)
    floor (0.259521484375 × 2048)
    floor (531.5)     		tx = 531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.075927734375 × 211)
    floor (0.075927734375 × 2048)
    floor (155.5)     		ty = 155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 531 / 155 ti = "11/531/155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/531/155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 531 ÷ 211
    531 ÷ 2048     		x = 0.25927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 155 ÷ 211
    155 ÷ 2048     		y = 0.07568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.25927734375 × 2 - 1) × π
    -0.4814453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.51250506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07568359375 × 2 - 1) × π
    0.8486328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.66605860926904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.51250506} λ = -1.51250506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66605860926904))-π/2
    2×atan(14.383167644152)-π/2
    2×1.50138231405238-π/2
    3.00276462810476-1.57079632675     		φ = 1.43196830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.51250506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.660156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43196830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.045740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 531 KachelY 155 -1.51250506 1.43196830 -86.660156 82.045740
    Oben rechts KachelX + 1 532 KachelY 155 -1.50943710 1.43196830 -86.484375 82.045740
    Unten links KachelX 531 KachelY + 1 156 -1.51250506 1.43154310 -86.660156 82.021378
    Unten rechts KachelX + 1 532 KachelY + 1 156 -1.50943710 1.43154310 -86.484375 82.021378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43196830-1.43154310) × R
    0.000425200000000014 × 6371000     		dl = 2708.94920000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43196830-1.43154310) × R
    0.000425200000000014 × 6371000     		dr = 2708.94920000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.51250506--1.50943710) × cos(1.43196830) × R
    0.00306796000000009 × 0.138382512462372 × 6371000     		do = 2704.82087440297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.51250506--1.50943710) × cos(1.43154310) × R
    0.00306796000000009 × 0.138803609030212 × 6371000     		du = 2713.05161661574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43196830)-sin(1.43154310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.138382512462372-0.138803609030212)×R²
    abs(-1.50943710--1.51250506)×0.00042109656783984×R²
    0.00306796000000009×0.00042109656783984×6371000²
    0.00306796000000009×0.00042109656783984×40589641000000     		ar = 7338370.78568657m²