Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53099 / 101995
↖ ↑ ↗
← S 70.239961°
W 34.159241°		 ← 103.26 m → S 70.239961°
W 34.156494°		 →
↑
103.27 m
↓
↑
103.27 m
↓
S 70.240890°
W 34.159241°		 ← 103.25 m →
10 664 m²		 S 70.240890°
W 34.156494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405117034912109 y=0.778163909912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405117034912109 × 217)
    floor (0.405117034912109 × 131072)
    floor (53099.5)     		tx = 53099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778163909912109 × 217)
    floor (0.778163909912109 × 131072)
    floor (101995.5)     		ty = 101995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53099 / 101995 ti = "17/53099/101995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53099/101995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53099 ÷ 217
    53099 ÷ 131072     		x = 0.405113220214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101995 ÷ 217
    101995 ÷ 131072     		y = 0.778160095214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405113220214844 × 2 - 1) × π
    -0.189773559570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.59619122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778160095214844 × 2 - 1) × π
    -0.556320190429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.74773142324763
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59619122} λ = -0.59619122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74773142324763))-π/2
    2×atan(0.174168610475683)-π/2
    2×0.172438867929529-π/2
    0.344877735859057-1.57079632675     		φ = -1.22591859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59619122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.159241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22591859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.239961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53099 KachelY 101995 -0.59619122 -1.22591859 -34.159241 -70.239961
    Oben rechts KachelX + 1 53100 KachelY 101995 -0.59614328 -1.22591859 -34.156494 -70.239961
    Unten links KachelX 53099 KachelY + 1 101996 -0.59619122 -1.22593480 -34.159241 -70.240890
    Unten rechts KachelX + 1 53100 KachelY + 1 101996 -0.59614328 -1.22593480 -34.156494 -70.240890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22591859--1.22593480) × R
    1.6210000000072e-05 × 6371000     		dl = 103.273910000459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22591859--1.22593480) × R
    1.6210000000072e-05 × 6371000     		dr = 103.273910000459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59619122--0.59614328) × cos(-1.22591859) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338081615819267 × 6371000     		do = 103.258827691928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59619122--0.59614328) × cos(-1.22593480) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338066360271609 × 6371000     		du = 103.254168254995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22591859)-sin(-1.22593480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338081615819267-0.338066360271609)×R²
    abs(-0.59614328--0.59619122)×1.52555476574112e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52555476574112e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52555476574112e-05×40589641000000     		ar = 10663.7022788233m²