Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53098 / 22582
↖ ↑ ↗
← N 48.727209°
E111.676025°		 ← 402.90 m → N 48.727209°
E111.681518°		 →
↑
402.97 m
↓
↑
402.97 m
↓
N 48.723585°
E111.676025°		 ← 402.93 m →
162 362 m²		 N 48.723585°
E111.681518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810218811035156 y=0.344581604003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810218811035156 × 216)
    floor (0.810218811035156 × 65536)
    floor (53098.5)     		tx = 53098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344581604003906 × 216)
    floor (0.344581604003906 × 65536)
    floor (22582.5)     		ty = 22582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53098 / 22582 ti = "16/53098/22582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53098/22582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53098 ÷ 216
    53098 ÷ 65536     		x = 0.810211181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22582 ÷ 216
    22582 ÷ 65536     		y = 0.344573974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810211181640625 × 2 - 1) × π
    0.62042236328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.94911434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344573974609375 × 2 - 1) × π
    0.31085205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.976570519059784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94911434} λ = 1.94911434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.976570519059784))-π/2
    2×atan(2.65533419092234)-π/2
    2×1.21062327799098-π/2
    2.42124655598195-1.57079632675     		φ = 0.85045023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94911434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.676025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85045023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.727209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53098 KachelY 22582 1.94911434 0.85045023 111.676025 48.727209
    Oben rechts KachelX + 1 53099 KachelY 22582 1.94921021 0.85045023 111.681518 48.727209
    Unten links KachelX 53098 KachelY + 1 22583 1.94911434 0.85038698 111.676025 48.723585
    Unten rechts KachelX + 1 53099 KachelY + 1 22583 1.94921021 0.85038698 111.681518 48.723585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85045023-0.85038698) × R
    6.32499999999592e-05 × 6371000     		dl = 402.96574999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85045023-0.85038698) × R
    6.32499999999592e-05 × 6371000     		dr = 402.96574999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94911434-1.94921021) × cos(0.85045023) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.659644830027985 × 6371000     		do = 402.902994724813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94911434-1.94921021) × cos(0.85038698) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.659692365983658 × 6371000     		du = 402.932029105174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85045023)-sin(0.85038698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659644830027985-0.659692365983658)×R²
    abs(1.94921021-1.94911434)×4.75359556727506e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75359556727506e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75359556727506e-05×40589641000000     		ar = 162361.957430906m²