Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53098 / 101998
↖ ↑ ↗
← S 70.242747°
W 34.161987°		 ← 103.24 m → S 70.242747°
W 34.159241°		 →
↑
103.21 m
↓
↑
103.21 m
↓
S 70.243675°
W 34.161987°		 ← 103.24 m →
10 656 m²		 S 70.243675°
W 34.159241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405109405517578 y=0.778186798095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405109405517578 × 217)
    floor (0.405109405517578 × 131072)
    floor (53098.5)     		tx = 53098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778186798095703 × 217)
    floor (0.778186798095703 × 131072)
    floor (101998.5)     		ty = 101998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53098 / 101998 ti = "17/53098/101998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53098/101998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53098 ÷ 217
    53098 ÷ 131072     		x = 0.405105590820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101998 ÷ 217
    101998 ÷ 131072     		y = 0.778182983398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405105590820312 × 2 - 1) × π
    -0.189788818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59623916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778182983398438 × 2 - 1) × π
    -0.556365966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74787523394649
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59623916} λ = -0.59623916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74787523394649))-π/2
    2×atan(0.174143564967041)-π/2
    2×0.172414559697888-π/2
    0.344829119395775-1.57079632675     		φ = -1.22596721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59623916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.161987°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22596721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.242747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53098 KachelY 101998 -0.59623916 -1.22596721 -34.161987 -70.242747
    Oben rechts KachelX + 1 53099 KachelY 101998 -0.59619122 -1.22596721 -34.159241 -70.242747
    Unten links KachelX 53098 KachelY + 1 101999 -0.59623916 -1.22598341 -34.161987 -70.243675
    Unten rechts KachelX + 1 53099 KachelY + 1 101999 -0.59619122 -1.22598341 -34.159241 -70.243675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22596721--1.22598341) × R
    1.61999999999107e-05 × 6371000     		dl = 103.210199999431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22596721--1.22598341) × R
    1.61999999999107e-05 × 6371000     		dr = 103.210199999431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59623916--0.59619122) × cos(-1.22596721) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338035858321136 × 6371000     		do = 103.2448521742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59623916--0.59619122) × cos(-1.22598341) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338020611918437 × 6371000     		du = 103.240195530374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22596721)-sin(-1.22598341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338035858321136-0.338020611918437)×R²
    abs(-0.59619122--0.59623916)×1.524640269851e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.524640269851e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.524640269851e-05×40589641000000     		ar = 10655.6815353581m²