Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53096 / 22585
↖ ↑ ↗
← N 48.716337°
E111.665039°		 ← 402.99 m → N 48.716337°
E111.670532°		 →
↑
403.03 m
↓
↑
403.03 m
↓
N 48.712712°
E111.665039°		 ← 403.02 m →
162 423 m²		 N 48.712712°
E111.670532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810188293457031 y=0.344627380371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810188293457031 × 216)
    floor (0.810188293457031 × 65536)
    floor (53096.5)     		tx = 53096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344627380371094 × 216)
    floor (0.344627380371094 × 65536)
    floor (22585.5)     		ty = 22585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53096 / 22585 ti = "16/53096/22585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53096/22585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53096 ÷ 216
    53096 ÷ 65536     		x = 0.8101806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22585 ÷ 216
    22585 ÷ 65536     		y = 0.344619750976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8101806640625 × 2 - 1) × π
    0.620361328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.94892259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344619750976562 × 2 - 1) × π
    0.310760498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.976282897662064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94892259} λ = 1.94892259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.976282897662064))-π/2
    2×atan(2.65457056981308)-π/2
    2×1.21052840375335-π/2
    2.4210568075067-1.57079632675     		φ = 0.85026048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94892259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.665039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85026048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.716337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53096 KachelY 22585 1.94892259 0.85026048 111.665039 48.716337
    Oben rechts KachelX + 1 53097 KachelY 22585 1.94901846 0.85026048 111.670532 48.716337
    Unten links KachelX 53096 KachelY + 1 22586 1.94892259 0.85019722 111.665039 48.712712
    Unten rechts KachelX + 1 53097 KachelY + 1 22586 1.94901846 0.85019722 111.670532 48.712712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85026048-0.85019722) × R
    6.32600000000094e-05 × 6371000     		dl = 403.02946000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85026048-0.85019722) × R
    6.32600000000094e-05 × 6371000     		dr = 403.02946000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94892259-1.94901846) × cos(0.85026048) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.659787429977392 × 6371000     		do = 402.990093029914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94892259-1.94901846) × cos(0.85019722) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.659834965529178 × 6371000     		du = 403.019127163585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85026048)-sin(0.85019722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659787429977392-0.659834965529178)×R²
    abs(1.94901846-1.94892259)×4.75355517863818e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75355517863818e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75355517863818e-05×40589641000000     		ar = 162422.730438865m²