Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53094 / 21420
↖ ↑ ↗
← N 52.762892°
E111.654053°		 ← 369.64 m → N 52.762892°
E111.659546°		 →
↑
369.58 m
↓
↑
369.58 m
↓
N 52.759568°
E111.654053°		 ← 369.66 m →
136 616 m²		 N 52.759568°
E111.659546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810157775878906 y=0.326850891113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810157775878906 × 216)
    floor (0.810157775878906 × 65536)
    floor (53094.5)     		tx = 53094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326850891113281 × 216)
    floor (0.326850891113281 × 65536)
    floor (21420.5)     		ty = 21420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53094 / 21420 ti = "16/53094/21420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53094/21420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53094 ÷ 216
    53094 ÷ 65536     		x = 0.810150146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21420 ÷ 216
    21420 ÷ 65536     		y = 0.32684326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810150146484375 × 2 - 1) × π
    0.62030029296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.94873084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32684326171875 × 2 - 1) × π
    0.3463134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08797587377679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94873084} λ = 1.94873084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08797587377679))-π/2
    2×atan(2.96825985523869)-π/2
    2×1.24584125523511-π/2
    2.49168251047023-1.57079632675     		φ = 0.92088618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94873084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.654053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92088618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.762892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53094 KachelY 21420 1.94873084 0.92088618 111.654053 52.762892
    Oben rechts KachelX + 1 53095 KachelY 21420 1.94882672 0.92088618 111.659546 52.762892
    Unten links KachelX 53094 KachelY + 1 21421 1.94873084 0.92082817 111.654053 52.759568
    Unten rechts KachelX + 1 53095 KachelY + 1 21421 1.94882672 0.92082817 111.659546 52.759568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92088618-0.92082817) × R
    5.80100000000527e-05 × 6371000     		dl = 369.581710000336m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92088618-0.92082817) × R
    5.80100000000527e-05 × 6371000     		dr = 369.581710000336m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94873084-1.94882672) × cos(0.92088618) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.605114872612289 × 6371000     		do = 369.635315504986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94873084-1.94882672) × cos(0.92082817) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.605161055569541 × 6371000     		du = 369.663526432774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92088618)-sin(0.92082817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605114872612289-0.605161055569541)×R²
    abs(1.94882672-1.94873084)×4.61829572515615e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.61829572515615e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.61829572515615e-05×40589641000000     		ar = 136615.665140923m²