Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53093 / 11622
↖ ↑ ↗
← N 81.372007°
W 34.175720°		 ← 45.81 m → N 81.372007°
W 34.172974°		 →
↑
45.81 m
↓
↑
45.81 m
↓
N 81.371595°
W 34.175720°		 ← 45.81 m →
2 098 m²		 N 81.371595°
W 34.172974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405071258544922 y=0.0886726379394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405071258544922 × 217)
    floor (0.405071258544922 × 131072)
    floor (53093.5)     		tx = 53093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0886726379394531 × 217)
    floor (0.0886726379394531 × 131072)
    floor (11622.5)     		ty = 11622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53093 / 11622 ti = "17/53093/11622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53093/11622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53093 ÷ 217
    53093 ÷ 131072     		x = 0.405067443847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11622 ÷ 217
    11622 ÷ 131072     		y = 0.0886688232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405067443847656 × 2 - 1) × π
    -0.189865112304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.59647884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0886688232421875 × 2 - 1) × π
    0.822662353515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58447000611571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59647884} λ = -0.59647884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58447000611571))-π/2
    2×atan(13.2562614903217)-π/2
    2×1.49550288261857-π/2
    2.99100576523714-1.57079632675     		φ = 1.42020944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59647884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.175720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42020944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.372007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53093 KachelY 11622 -0.59647884 1.42020944 -34.175720 81.372007
    Oben rechts KachelX + 1 53094 KachelY 11622 -0.59643091 1.42020944 -34.172974 81.372007
    Unten links KachelX 53093 KachelY + 1 11623 -0.59647884 1.42020225 -34.175720 81.371595
    Unten rechts KachelX + 1 53094 KachelY + 1 11623 -0.59643091 1.42020225 -34.172974 81.371595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42020944-1.42020225) × R
    7.19000000004577e-06 × 6371000     		dl = 45.8074900002916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42020944-1.42020225) × R
    7.19000000004577e-06 × 6371000     		dr = 45.8074900002916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59647884--0.59643091) × cos(1.42020944) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.150018403393159 × 6371000     		do = 45.8099241974159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59647884--0.59643091) × cos(1.42020225) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.150025512021521 × 6371000     		du = 45.812094902603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42020944)-sin(1.42020225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150018403393159-0.150025512021521)×R²
    abs(-0.59643091--0.59647884)×7.10862836186821e-06×R²
    4.79299999999183e-05×7.10862836186821e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×7.10862836186821e-06×40589641000000     		ar = 2098.48736205303m²