Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53089 / 94108
↖ ↑ ↗
← S 61.475514°
W 34.186707°		 ← 145.85 m → S 61.475514°
W 34.183960°		 →
↑
145.83 m
↓
↑
145.83 m
↓
S 61.476825°
W 34.186707°		 ← 145.85 m →
21 269 m²		 S 61.476825°
W 34.183960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405040740966797 y=0.717990875244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405040740966797 × 217)
    floor (0.405040740966797 × 131072)
    floor (53089.5)     		tx = 53089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717990875244141 × 217)
    floor (0.717990875244141 × 131072)
    floor (94108.5)     		ty = 94108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53089 / 94108 ti = "17/53089/94108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53089/94108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53089 ÷ 217
    53089 ÷ 131072     		x = 0.405036926269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94108 ÷ 217
    94108 ÷ 131072     		y = 0.717987060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405036926269531 × 2 - 1) × π
    -0.189926147460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.59667059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717987060546875 × 2 - 1) × π
    -0.43597412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.36965309594424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59667059} λ = -0.59667059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36965309594424))-π/2
    2×atan(0.254195125579357)-π/2
    2×0.24892310262598-π/2
    0.497846205251959-1.57079632675     		φ = -1.07295012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59667059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.186707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07295012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.475514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53089 KachelY 94108 -0.59667059 -1.07295012 -34.186707 -61.475514
    Oben rechts KachelX + 1 53090 KachelY 94108 -0.59662265 -1.07295012 -34.183960 -61.475514
    Unten links KachelX 53089 KachelY + 1 94109 -0.59667059 -1.07297301 -34.186707 -61.476825
    Unten rechts KachelX + 1 53090 KachelY + 1 94109 -0.59662265 -1.07297301 -34.183960 -61.476825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07295012--1.07297301) × R
    2.28899999998866e-05 × 6371000     		dl = 145.832189999278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07295012--1.07297301) × R
    2.28899999998866e-05 × 6371000     		dr = 145.832189999278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59667059--0.59662265) × cos(-1.07295012) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.477534296721619 × 6371000     		do = 145.851265951485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59667059--0.59662265) × cos(-1.07297301) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.477514185142452 × 6371000     		du = 145.845123357535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07295012)-sin(-1.07297301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477534296721619-0.477514185142452)×R²
    abs(-0.59662265--0.59667059)×2.01115791676476e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01115791676476e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01115791676476e-05×40589641000000     		ar = 21269.3616350002m²