Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53089 / 94107
↖ ↑ ↗
← S 61.474202°
W 34.186707°		 ← 145.86 m → S 61.474202°
W 34.183960°		 →
↑
145.83 m
↓
↑
145.83 m
↓
S 61.475514°
W 34.186707°		 ← 145.85 m →
21 270 m²		 S 61.475514°
W 34.183960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405040740966797 y=0.717983245849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405040740966797 × 217)
    floor (0.405040740966797 × 131072)
    floor (53089.5)     		tx = 53089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717983245849609 × 217)
    floor (0.717983245849609 × 131072)
    floor (94107.5)     		ty = 94107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53089 / 94107 ti = "17/53089/94107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53089/94107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53089 ÷ 217
    53089 ÷ 131072     		x = 0.405036926269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94107 ÷ 217
    94107 ÷ 131072     		y = 0.717979431152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405036926269531 × 2 - 1) × π
    -0.189926147460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.59667059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717979431152344 × 2 - 1) × π
    -0.435958862304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.36960515904462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59667059} λ = -0.59667059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36960515904462))-π/2
    2×atan(0.254207311197644)-π/2
    2×0.248934548623809-π/2
    0.497869097247618-1.57079632675     		φ = -1.07292723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59667059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.186707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07292723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.474202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53089 KachelY 94107 -0.59667059 -1.07292723 -34.186707 -61.474202
    Oben rechts KachelX + 1 53090 KachelY 94107 -0.59662265 -1.07292723 -34.183960 -61.474202
    Unten links KachelX 53089 KachelY + 1 94108 -0.59667059 -1.07295012 -34.186707 -61.475514
    Unten rechts KachelX + 1 53090 KachelY + 1 94108 -0.59662265 -1.07295012 -34.183960 -61.475514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07292723--1.07295012) × R
    2.28900000001087e-05 × 6371000     		dl = 145.832190000692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07292723--1.07295012) × R
    2.28900000001087e-05 × 6371000     		dr = 145.832190000692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59667059--0.59662265) × cos(-1.07292723) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.477554408050582 × 6371000     		do = 145.857408469015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59667059--0.59662265) × cos(-1.07295012) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.477534296721619 × 6371000     		du = 145.851265951485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07292723)-sin(-1.07295012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477554408050582-0.477534296721619)×R²
    abs(-0.59662265--0.59667059)×2.01113289627353e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01113289627353e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01113289627353e-05×40589641000000     		ar = 21270.2574173911m²