Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53088 / 94304
↖ ↑ ↗
← S 61.731525°
W 34.189453°		 ← 144.65 m → S 61.731525°
W 34.186707°		 →
↑
144.69 m
↓
↑
144.69 m
↓
S 61.732827°
W 34.189453°		 ← 144.64 m →
20 928 m²		 S 61.732827°
W 34.186707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405033111572266 y=0.719486236572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405033111572266 × 217)
    floor (0.405033111572266 × 131072)
    floor (53088.5)     		tx = 53088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719486236572266 × 217)
    floor (0.719486236572266 × 131072)
    floor (94304.5)     		ty = 94304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53088 / 94304 ti = "17/53088/94304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53088/94304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53088 ÷ 217
    53088 ÷ 131072     		x = 0.405029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94304 ÷ 217
    94304 ÷ 131072     		y = 0.719482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405029296875 × 2 - 1) × π
    -0.18994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59671853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.719482421875 × 2 - 1) × π
    -0.43896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37904872826978
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59671853} λ = -0.59671853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37904872826978))-π/2
    2×atan(0.251817986490284)-π/2
    2×0.24668897596097-π/2
    0.49337795192194-1.57079632675     		φ = -1.07741837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59671853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.189453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07741837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.731525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53088 KachelY 94304 -0.59671853 -1.07741837 -34.189453 -61.731525
    Oben rechts KachelX + 1 53089 KachelY 94304 -0.59667059 -1.07741837 -34.186707 -61.731525
    Unten links KachelX 53088 KachelY + 1 94305 -0.59671853 -1.07744108 -34.189453 -61.732827
    Unten rechts KachelX + 1 53089 KachelY + 1 94305 -0.59667059 -1.07744108 -34.186707 -61.732827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07741837--1.07744108) × R
    2.27100000000924e-05 × 6371000     		dl = 144.685410000589m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07741837--1.07744108) × R
    2.27100000000924e-05 × 6371000     		dr = 144.685410000589m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59671853--0.59667059) × cos(-1.07741837) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.473603679720616 × 6371000     		do = 144.650754345297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59671853--0.59667059) × cos(-1.07744108) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.473583678036834 × 6371000     		du = 144.644645316227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07741837)-sin(-1.07744108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.473603679720616-0.473583678036834)×R²
    abs(-0.59667059--0.59671853)×2.00016837824113e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00016837824113e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00016837824113e-05×40589641000000     		ar = 20928.4117564025m²