Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53087 / 94105
↖ ↑ ↗
← S 61.471578°
W 34.192200°		 ← 145.84 m → S 61.471578°
W 34.189453°		 →
↑
145.90 m
↓
↑
145.90 m
↓
S 61.472891°
W 34.192200°		 ← 145.83 m →
21 277 m²		 S 61.472891°
W 34.189453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405025482177734 y=0.717967987060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405025482177734 × 217)
    floor (0.405025482177734 × 131072)
    floor (53087.5)     		tx = 53087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717967987060547 × 217)
    floor (0.717967987060547 × 131072)
    floor (94105.5)     		ty = 94105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53087 / 94105 ti = "17/53087/94105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53087/94105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53087 ÷ 217
    53087 ÷ 131072     		x = 0.405021667480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94105 ÷ 217
    94105 ÷ 131072     		y = 0.717964172363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405021667480469 × 2 - 1) × π
    -0.189956665039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.59676646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717964172363281 × 2 - 1) × π
    -0.435928344726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.36950928524538
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59676646} λ = -0.59676646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36950928524538))-π/2
    2×atan(0.25423168418671)-π/2
    2×0.248957442065742-π/2
    0.497914884131484-1.57079632675     		φ = -1.07288144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59676646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.192200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07288144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.471578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53087 KachelY 94105 -0.59676646 -1.07288144 -34.192200 -61.471578
    Oben rechts KachelX + 1 53088 KachelY 94105 -0.59671853 -1.07288144 -34.189453 -61.471578
    Unten links KachelX 53087 KachelY + 1 94106 -0.59676646 -1.07290434 -34.192200 -61.472891
    Unten rechts KachelX + 1 53088 KachelY + 1 94106 -0.59671853 -1.07290434 -34.189453 -61.472891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07288144--1.07290434) × R
    2.29000000000479e-05 × 6371000     		dl = 145.895900000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07288144--1.07290434) × R
    2.29000000000479e-05 × 6371000     		dr = 145.895900000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59676646--0.59671853) × cos(-1.07288144) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.477594638743653 × 6371000     		do = 145.839268403968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59676646--0.59671853) × cos(-1.07290434) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.477574519129329 × 6371000     		du = 145.833124637695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07288144)-sin(-1.07290434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477594638743653-0.477574519129329)×R²
    abs(-0.59671853--0.59676646)×2.01196143240212e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.01196143240212e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.01196143240212e-05×40589641000000     		ar = 21276.9031449509m²