Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53087 / 11873
↖ ↑ ↗
← N 81.267968°
W 34.192200°		 ← 46.36 m → N 81.267968°
W 34.189453°		 →
↑
46.32 m
↓
↑
46.32 m
↓
N 81.267551°
W 34.192200°		 ← 46.36 m →
2 147 m²		 N 81.267551°
W 34.189453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405025482177734 y=0.0905876159667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405025482177734 × 217)
    floor (0.405025482177734 × 131072)
    floor (53087.5)     		tx = 53087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0905876159667969 × 217)
    floor (0.0905876159667969 × 131072)
    floor (11873.5)     		ty = 11873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53087 / 11873 ti = "17/53087/11873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53087/11873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53087 ÷ 217
    53087 ÷ 131072     		x = 0.405021667480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11873 ÷ 217
    11873 ÷ 131072     		y = 0.0905838012695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405021667480469 × 2 - 1) × π
    -0.189956665039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.59676646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0905838012695312 × 2 - 1) × π
    0.818832397460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.57243784431107
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59676646} λ = -0.59676646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57243784431107))-π/2
    2×atan(13.0977157439388)-π/2
    2×1.49459497070063-π/2
    2.98918994140127-1.57079632675     		φ = 1.41839361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59676646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.192200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41839361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.267968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53087 KachelY 11873 -0.59676646 1.41839361 -34.192200 81.267968
    Oben rechts KachelX + 1 53088 KachelY 11873 -0.59671853 1.41839361 -34.189453 81.267968
    Unten links KachelX 53087 KachelY + 1 11874 -0.59676646 1.41838634 -34.192200 81.267551
    Unten rechts KachelX + 1 53088 KachelY + 1 11874 -0.59671853 1.41838634 -34.189453 81.267551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41839361-1.41838634) × R
    7.27000000000366e-06 × 6371000     		dl = 46.3171700000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41839361-1.41838634) × R
    7.27000000000366e-06 × 6371000     		dr = 46.3171700000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59676646--0.59671853) × cos(1.41839361) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151813435706443 × 6371000     		do = 46.3580589086222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59676646--0.59671853) × cos(1.41838634) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151820621437072 × 6371000     		du = 46.3602531579143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41839361)-sin(1.41838634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151813435706443-0.151820621437072)×R²
    abs(-0.59671853--0.59676646)×7.18573062966077e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.18573062966077e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.18573062966077e-06×40589641000000     		ar = 2147.22491095352m²