Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53086 / 94307
↖ ↑ ↗
← S 61.735428°
W 34.194946°		 ← 144.63 m → S 61.735428°
W 34.192200°		 →
↑
144.62 m
↓
↑
144.62 m
↓
S 61.736728°
W 34.194946°		 ← 144.63 m →
20 917 m²		 S 61.736728°
W 34.192200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405017852783203 y=0.719509124755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405017852783203 × 217)
    floor (0.405017852783203 × 131072)
    floor (53086.5)     		tx = 53086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719509124755859 × 217)
    floor (0.719509124755859 × 131072)
    floor (94307.5)     		ty = 94307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53086 / 94307 ti = "17/53086/94307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53086/94307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53086 ÷ 217
    53086 ÷ 131072     		x = 0.405014038085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94307 ÷ 217
    94307 ÷ 131072     		y = 0.719505310058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405014038085938 × 2 - 1) × π
    -0.189971923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59681440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.719505310058594 × 2 - 1) × π
    -0.439010620117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.37919253896864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59681440} λ = -0.59681440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37919253896864))-π/2
    2×atan(0.251781774973526)-π/2
    2×0.246654923479805-π/2
    0.49330984695961-1.57079632675     		φ = -1.07748648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59681440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.194946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07748648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.735428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53086 KachelY 94307 -0.59681440 -1.07748648 -34.194946 -61.735428
    Oben rechts KachelX + 1 53087 KachelY 94307 -0.59676646 -1.07748648 -34.192200 -61.735428
    Unten links KachelX 53086 KachelY + 1 94308 -0.59681440 -1.07750918 -34.194946 -61.736728
    Unten rechts KachelX + 1 53087 KachelY + 1 94308 -0.59676646 -1.07750918 -34.192200 -61.736728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07748648--1.07750918) × R
    2.27000000001532e-05 × 6371000     		dl = 144.621700000976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07748648--1.07750918) × R
    2.27000000001532e-05 × 6371000     		dr = 144.621700000976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59681440--0.59676646) × cos(-1.07748648) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.473543691551943 × 6371000     		do = 144.632432414489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59681440--0.59676646) × cos(-1.07750918) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.473523697943473 × 6371000     		du = 144.626325851827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07748648)-sin(-1.07750918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.473543691551943-0.473523697943473)×R²
    abs(-0.59676646--0.59681440)×1.9993608469604e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9993608469604e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9993608469604e-05×40589641000000     		ar = 20916.5466812454m²