Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53086 / 94106
↖ ↑ ↗
← S 61.472891°
W 34.194946°		 ← 145.86 m → S 61.472891°
W 34.192200°		 →
↑
145.83 m
↓
↑
145.83 m
↓
S 61.474202°
W 34.194946°		 ← 145.86 m →
21 271 m²		 S 61.474202°
W 34.192200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405017852783203 y=0.717975616455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405017852783203 × 217)
    floor (0.405017852783203 × 131072)
    floor (53086.5)     		tx = 53086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717975616455078 × 217)
    floor (0.717975616455078 × 131072)
    floor (94106.5)     		ty = 94106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53086 / 94106 ti = "17/53086/94106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53086/94106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53086 ÷ 217
    53086 ÷ 131072     		x = 0.405014038085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94106 ÷ 217
    94106 ÷ 131072     		y = 0.717971801757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405014038085938 × 2 - 1) × π
    -0.189971923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59681440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717971801757812 × 2 - 1) × π
    -0.435943603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.369557222145
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59681440} λ = -0.59681440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.369557222145))-π/2
    2×atan(0.254219497400085)-π/2
    2×0.248945995103725-π/2
    0.49789199020745-1.57079632675     		φ = -1.07290434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59681440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.194946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07290434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.472891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53086 KachelY 94106 -0.59681440 -1.07290434 -34.194946 -61.472891
    Oben rechts KachelX + 1 53087 KachelY 94106 -0.59676646 -1.07290434 -34.192200 -61.472891
    Unten links KachelX 53086 KachelY + 1 94107 -0.59681440 -1.07292723 -34.194946 -61.474202
    Unten rechts KachelX + 1 53087 KachelY + 1 94107 -0.59676646 -1.07292723 -34.192200 -61.474202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07290434--1.07292723) × R
    2.28899999998866e-05 × 6371000     		dl = 145.832189999278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07290434--1.07292723) × R
    2.28899999998866e-05 × 6371000     		dr = 145.832189999278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59681440--0.59676646) × cos(-1.07290434) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.477574519129329 × 6371000     		do = 145.863550910124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59681440--0.59676646) × cos(-1.07292723) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.477554408050582 × 6371000     		du = 145.857408469015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07290434)-sin(-1.07292723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477574519129329-0.477554408050582)×R²
    abs(-0.59676646--0.59681440)×2.01110787468872e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01110787468872e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01110787468872e-05×40589641000000     		ar = 21271.1531883322m²