Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53085 / 94110
↖ ↑ ↗
← S 61.478137°
W 34.197693°		 ← 145.84 m → S 61.478137°
W 34.194946°		 →
↑
145.83 m
↓
↑
145.83 m
↓
S 61.479448°
W 34.197693°		 ← 145.83 m →
21 268 m²		 S 61.479448°
W 34.194946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405010223388672 y=0.718006134033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405010223388672 × 217)
    floor (0.405010223388672 × 131072)
    floor (53085.5)     		tx = 53085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718006134033203 × 217)
    floor (0.718006134033203 × 131072)
    floor (94110.5)     		ty = 94110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53085 / 94110 ti = "17/53085/94110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53085/94110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53085 ÷ 217
    53085 ÷ 131072     		x = 0.405006408691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94110 ÷ 217
    94110 ÷ 131072     		y = 0.718002319335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405006408691406 × 2 - 1) × π
    -0.189987182617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.59686234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718002319335938 × 2 - 1) × π
    -0.436004638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.36974896974348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59686234} λ = -0.59686234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36974896974348))-π/2
    2×atan(0.254170756095135)-π/2
    2×0.248900212076523-π/2
    0.497800424153046-1.57079632675     		φ = -1.07299590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59686234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.197693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07299590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.478137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53085 KachelY 94110 -0.59686234 -1.07299590 -34.197693 -61.478137
    Oben rechts KachelX + 1 53086 KachelY 94110 -0.59681440 -1.07299590 -34.194946 -61.478137
    Unten links KachelX 53085 KachelY + 1 94111 -0.59686234 -1.07301879 -34.197693 -61.479448
    Unten rechts KachelX + 1 53086 KachelY + 1 94111 -0.59681440 -1.07301879 -34.194946 -61.479448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07299590--1.07301879) × R
    2.28899999998866e-05 × 6371000     		dl = 145.832189999278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07299590--1.07301879) × R
    2.28899999998866e-05 × 6371000     		dr = 145.832189999278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59686234--0.59681440) × cos(-1.07299590) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.477494073313089 × 6371000     		do = 145.838980687507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59686234--0.59681440) × cos(-1.07301879) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.477473961233543 × 6371000     		du = 145.832837940728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07299590)-sin(-1.07301879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477494073313089-0.477473961233543)×R²
    abs(-0.59681440--0.59686234)×2.01120795462195e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.01120795462195e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.01120795462195e-05×40589641000000     		ar = 21267.5700367822m²