Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53084 / 94109
↖ ↑ ↗
← S 61.476825°
W 34.200439°		 ← 145.81 m → S 61.476825°
W 34.197693°		 →
↑
145.83 m
↓
↑
145.83 m
↓
S 61.478137°
W 34.200439°		 ← 145.81 m →
21 264 m²		 S 61.478137°
W 34.197693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405002593994141 y=0.717998504638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405002593994141 × 217)
    floor (0.405002593994141 × 131072)
    floor (53084.5)     		tx = 53084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717998504638672 × 217)
    floor (0.717998504638672 × 131072)
    floor (94109.5)     		ty = 94109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53084 / 94109 ti = "17/53084/94109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53084/94109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53084 ÷ 217
    53084 ÷ 131072     		x = 0.404998779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94109 ÷ 217
    94109 ÷ 131072     		y = 0.717994689941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404998779296875 × 2 - 1) × π
    -0.19000244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59691027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717994689941406 × 2 - 1) × π
    -0.435989379882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.36970103284386
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59691027} λ = -0.59691027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36970103284386))-π/2
    2×atan(0.254182940545197)-π/2
    2×0.248911657110222-π/2
    0.497823314220444-1.57079632675     		φ = -1.07297301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59691027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.200439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07297301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.476825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53084 KachelY 94109 -0.59691027 -1.07297301 -34.200439 -61.476825
    Oben rechts KachelX + 1 53085 KachelY 94109 -0.59686234 -1.07297301 -34.197693 -61.476825
    Unten links KachelX 53084 KachelY + 1 94110 -0.59691027 -1.07299590 -34.200439 -61.478137
    Unten rechts KachelX + 1 53085 KachelY + 1 94110 -0.59686234 -1.07299590 -34.197693 -61.478137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07297301--1.07299590) × R
    2.28900000001087e-05 × 6371000     		dl = 145.832190000692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07297301--1.07299590) × R
    2.28900000001087e-05 × 6371000     		dr = 145.832190000692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59691027--0.59686234) × cos(-1.07297301) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.477514185142452 × 6371000     		do = 145.814700928646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59691027--0.59686234) × cos(-1.07299590) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.477494073313089 × 6371000     		du = 145.808559539605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07297301)-sin(-1.07299590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477514185142452-0.477494073313089)×R²
    abs(-0.59686234--0.59691027)×2.01118293623459e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.01118293623459e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.01118293623459e-05×40589641000000     		ar = 21264.0293653746m²