Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53081 / 22493
↖ ↑ ↗
← N 49.048670°
E111.582641°		 ← 400.36 m → N 49.048670°
E111.588135°		 →
↑
400.35 m
↓
↑
400.35 m
↓
N 49.045070°
E111.582641°		 ← 400.39 m →
160 293 m²		 N 49.045070°
E111.588135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809959411621094 y=0.343223571777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809959411621094 × 216)
    floor (0.809959411621094 × 65536)
    floor (53081.5)     		tx = 53081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343223571777344 × 216)
    floor (0.343223571777344 × 65536)
    floor (22493.5)     		ty = 22493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53081 / 22493 ti = "16/53081/22493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53081/22493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53081 ÷ 216
    53081 ÷ 65536     		x = 0.809951782226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22493 ÷ 216
    22493 ÷ 65536     		y = 0.343215942382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809951782226562 × 2 - 1) × π
    0.619903564453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.94748448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343215942382812 × 2 - 1) × π
    0.313568115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.985103287192154
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94748448} λ = 1.94748448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.985103287192154))-π/2
    2×atan(2.67808848237597)-π/2
    2×1.21342855660592-π/2
    2.42685711321184-1.57079632675     		φ = 0.85606079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94748448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.582641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85606079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.048670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53081 KachelY 22493 1.94748448 0.85606079 111.582641 49.048670
    Oben rechts KachelX + 1 53082 KachelY 22493 1.94758036 0.85606079 111.588135 49.048670
    Unten links KachelX 53081 KachelY + 1 22494 1.94748448 0.85599795 111.582641 49.045070
    Unten rechts KachelX + 1 53082 KachelY + 1 22494 1.94758036 0.85599795 111.588135 49.045070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85606079-0.85599795) × R
    6.28400000000084e-05 × 6371000     		dl = 400.353640000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85606079-0.85599795) × R
    6.28400000000084e-05 × 6371000     		dr = 400.353640000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94748448-1.94758036) × cos(0.85606079) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.655417699393546 × 6371000     		do = 400.36287169248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94748448-1.94758036) × cos(0.85599795) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.655465159052675 × 6371000     		du = 400.391862495499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85606079)-sin(0.85599795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655417699393546-0.655465159052675)×R²
    abs(1.94758036-1.94748448)×4.74596591281129e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.74596591281129e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.74596591281129e-05×40589641000000     		ar = 160292.536342188m²