Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53080 / 11832
↖ ↑ ↗
← N 81.285047°
W 34.211426°		 ← 46.28 m → N 81.285047°
W 34.208679°		 →
↑
46.25 m
↓
↑
46.25 m
↓
N 81.284631°
W 34.211426°		 ← 46.28 m →
2 141 m²		 N 81.284631°
W 34.208679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404972076416016 y=0.0902748107910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404972076416016 × 217)
    floor (0.404972076416016 × 131072)
    floor (53080.5)     		tx = 53080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0902748107910156 × 217)
    floor (0.0902748107910156 × 131072)
    floor (11832.5)     		ty = 11832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53080 / 11832 ti = "17/53080/11832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53080/11832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53080 ÷ 217
    53080 ÷ 131072     		x = 0.40496826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11832 ÷ 217
    11832 ÷ 131072     		y = 0.09027099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40496826171875 × 2 - 1) × π
    -0.1900634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59710202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09027099609375 × 2 - 1) × π
    0.8194580078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.5744032571955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59710202} λ = -0.59710202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5744032571955))-π/2
    2×atan(13.123483477041)-π/2
    2×1.49474401392029-π/2
    2.98948802784058-1.57079632675     		φ = 1.41869170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59710202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.211426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41869170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.285047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53080 KachelY 11832 -0.59710202 1.41869170 -34.211426 81.285047
    Oben rechts KachelX + 1 53081 KachelY 11832 -0.59705408 1.41869170 -34.208679 81.285047
    Unten links KachelX 53080 KachelY + 1 11833 -0.59710202 1.41868444 -34.211426 81.284631
    Unten rechts KachelX + 1 53081 KachelY + 1 11833 -0.59705408 1.41868444 -34.208679 81.284631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41869170-1.41868444) × R
    7.26000000006444e-06 × 6371000     		dl = 46.2534600004105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41869170-1.41868444) × R
    7.26000000006444e-06 × 6371000     		dr = 46.2534600004105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59710202--0.59705408) × cos(1.41869170) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151518794077424 × 6371000     		do = 46.2777398049745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59710202--0.59705408) × cos(1.41868444) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151525970252206 × 6371000     		du = 46.2799315934678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41869170)-sin(1.41868444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151518794077424-0.151525970252206)×R²
    abs(-0.59705408--0.59710202)×7.17617478254717e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.17617478254717e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.17617478254717e-06×40589641000000     		ar = 2140.55627590683m²