Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53078 / 50006
↖ ↑ ↗
← S 68.314087°
E111.566162°		 ← 225.72 m → S 68.314087°
E111.571655°		 →
↑
225.66 m
↓
↑
225.66 m
↓
S 68.316116°
E111.566162°		 ← 225.70 m →
50 934 m²		 S 68.316116°
E111.571655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809913635253906 y=0.763038635253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809913635253906 × 216)
    floor (0.809913635253906 × 65536)
    floor (53078.5)     		tx = 53078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763038635253906 × 216)
    floor (0.763038635253906 × 65536)
    floor (50006.5)     		ty = 50006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53078 / 50006 ti = "16/53078/50006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53078/50006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53078 ÷ 216
    53078 ÷ 65536     		x = 0.809906005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50006 ÷ 216
    50006 ÷ 65536     		y = 0.763031005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809906005859375 × 2 - 1) × π
    0.61981201171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.94719686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763031005859375 × 2 - 1) × π
    -0.52606201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65267255130106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94719686} λ = 1.94719686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65267255130106))-π/2
    2×atan(0.191537330638171)-π/2
    2×0.189245293908156-π/2
    0.378490587816312-1.57079632675     		φ = -1.19230574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94719686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.566162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19230574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.314087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53078 KachelY 50006 1.94719686 -1.19230574 111.566162 -68.314087
    Oben rechts KachelX + 1 53079 KachelY 50006 1.94729274 -1.19230574 111.571655 -68.314087
    Unten links KachelX 53078 KachelY + 1 50007 1.94719686 -1.19234116 111.566162 -68.316116
    Unten rechts KachelX + 1 53079 KachelY + 1 50007 1.94729274 -1.19234116 111.571655 -68.316116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19230574--1.19234116) × R
    3.54200000001192e-05 × 6371000     		dl = 225.66082000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19230574--1.19234116) × R
    3.54200000001192e-05 × 6371000     		dr = 225.66082000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94719686-1.94729274) × cos(-1.19230574) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.369518308741994 × 6371000     		do = 225.720805781996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94719686-1.94729274) × cos(-1.19234116) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.369485395415618 × 6371000     		du = 225.700700627867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19230574)-sin(-1.19234116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369518308741994-0.369485395415618)×R²
    abs(1.94729274-1.94719686)×3.29133263767267e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.29133263767267e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.29133263767267e-05×40589641000000     		ar = 50934.0736565563m²