Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53077 / 94089
↖ ↑ ↗
← S 61.450584°
W 34.219665°		 ← 145.94 m → S 61.450584°
W 34.216919°		 →
↑
145.96 m
↓
↑
145.96 m
↓
S 61.451896°
W 34.219665°		 ← 145.93 m →
21 301 m²		 S 61.451896°
W 34.216919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404949188232422 y=0.717845916748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404949188232422 × 217)
    floor (0.404949188232422 × 131072)
    floor (53077.5)     		tx = 53077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717845916748047 × 217)
    floor (0.717845916748047 × 131072)
    floor (94089.5)     		ty = 94089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53077 / 94089 ti = "17/53077/94089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53077/94089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53077 ÷ 217
    53077 ÷ 131072     		x = 0.404945373535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94089 ÷ 217
    94089 ÷ 131072     		y = 0.717842102050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404945373535156 × 2 - 1) × π
    -0.190109252929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.59724583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717842102050781 × 2 - 1) × π
    -0.435684204101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.36874229485146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59724583} λ = -0.59724583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36874229485146))-π/2
    2×atan(0.254426752244412)-π/2
    2×0.249140659035403-π/2
    0.498281318070806-1.57079632675     		φ = -1.07251501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59724583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.219665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07251501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.450584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53077 KachelY 94089 -0.59724583 -1.07251501 -34.219665 -61.450584
    Oben rechts KachelX + 1 53078 KachelY 94089 -0.59719790 -1.07251501 -34.216919 -61.450584
    Unten links KachelX 53077 KachelY + 1 94090 -0.59724583 -1.07253792 -34.219665 -61.451896
    Unten rechts KachelX + 1 53078 KachelY + 1 94090 -0.59719790 -1.07253792 -34.216919 -61.451896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07251501--1.07253792) × R
    2.29099999999871e-05 × 6371000     		dl = 145.959609999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07251501--1.07253792) × R
    2.29099999999871e-05 × 6371000     		dr = 145.959609999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59724583--0.59719790) × cos(-1.07251501) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.477916544855884 × 6371000     		do = 145.937566307868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59724583--0.59719790) × cos(-1.07253792) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.477896420466279 × 6371000     		du = 145.931421083406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07251501)-sin(-1.07253792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477916544855884-0.477896420466279)×R²
    abs(-0.59719790--0.59724583)×2.01243896050252e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.01243896050252e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.01243896050252e-05×40589641000000     		ar = 21300.5417863785m²