Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53076 / 94088
↖ ↑ ↗
← S 61.449271°
W 34.222412°		 ← 145.97 m → S 61.449271°
W 34.219665°		 →
↑
145.96 m
↓
↑
145.96 m
↓
S 61.450584°
W 34.222412°		 ← 145.97 m →
21 306 m²		 S 61.450584°
W 34.219665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404941558837891 y=0.717838287353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404941558837891 × 217)
    floor (0.404941558837891 × 131072)
    floor (53076.5)     		tx = 53076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717838287353516 × 217)
    floor (0.717838287353516 × 131072)
    floor (94088.5)     		ty = 94088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53076 / 94088 ti = "17/53076/94088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53076/94088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53076 ÷ 217
    53076 ÷ 131072     		x = 0.404937744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94088 ÷ 217
    94088 ÷ 131072     		y = 0.71783447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404937744140625 × 2 - 1) × π
    -0.19012451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59729377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71783447265625 × 2 - 1) × π
    -0.4356689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.36869435795184
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59729377} λ = -0.59729377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36869435795184))-π/2
    2×atan(0.254438948966429)-π/2
    2×0.249152114195323-π/2
    0.498304228390646-1.57079632675     		φ = -1.07249210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59729377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.222412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07249210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.449271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53076 KachelY 94088 -0.59729377 -1.07249210 -34.222412 -61.449271
    Oben rechts KachelX + 1 53077 KachelY 94088 -0.59724583 -1.07249210 -34.219665 -61.449271
    Unten links KachelX 53076 KachelY + 1 94089 -0.59729377 -1.07251501 -34.222412 -61.450584
    Unten rechts KachelX + 1 53077 KachelY + 1 94089 -0.59724583 -1.07251501 -34.219665 -61.450584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07249210--1.07251501) × R
    2.29099999999871e-05 × 6371000     		dl = 145.959609999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07249210--1.07251501) × R
    2.29099999999871e-05 × 6371000     		dr = 145.959609999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59729377--0.59724583) × cos(-1.07249210) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.477936668994646 × 6371000     		do = 145.974160800729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59729377--0.59724583) × cos(-1.07251501) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.477916544855884 × 6371000     		du = 145.968014370756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07249210)-sin(-1.07251501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477936668994646-0.477916544855884)×R²
    abs(-0.59724583--0.59729377)×2.01241387619011e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01241387619011e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01241387619011e-05×40589641000000     		ar = 21305.8830162581m²