Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53074 / 94091
↖ ↑ ↗
← S 61.453209°
W 34.227905°		 ← 145.93 m → S 61.453209°
W 34.225159°		 →
↑
145.90 m
↓
↑
145.90 m
↓
S 61.454521°
W 34.227905°		 ← 145.92 m →
21 289 m²		 S 61.454521°
W 34.225159°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404926300048828 y=0.717861175537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404926300048828 × 217)
    floor (0.404926300048828 × 131072)
    floor (53074.5)     		tx = 53074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717861175537109 × 217)
    floor (0.717861175537109 × 131072)
    floor (94091.5)     		ty = 94091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53074 / 94091 ti = "17/53074/94091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53074/94091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53074 ÷ 217
    53074 ÷ 131072     		x = 0.404922485351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94091 ÷ 217
    94091 ÷ 131072     		y = 0.717857360839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404922485351562 × 2 - 1) × π
    -0.190155029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59738964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717857360839844 × 2 - 1) × π
    -0.435714721679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.3688381686507
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59738964} λ = -0.59738964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3688381686507))-π/2
    2×atan(0.254402360554326)-π/2
    2×0.249117750162581-π/2
    0.498235500325161-1.57079632675     		φ = -1.07256083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59738964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.227905°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07256083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.453209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53074 KachelY 94091 -0.59738964 -1.07256083 -34.227905 -61.453209
    Oben rechts KachelX + 1 53075 KachelY 94091 -0.59734171 -1.07256083 -34.225159 -61.453209
    Unten links KachelX 53074 KachelY + 1 94092 -0.59738964 -1.07258373 -34.227905 -61.454521
    Unten rechts KachelX + 1 53075 KachelY + 1 94092 -0.59734171 -1.07258373 -34.225159 -61.454521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07256083--1.07258373) × R
    2.29000000000479e-05 × 6371000     		dl = 145.895900000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07256083--1.07258373) × R
    2.29000000000479e-05 × 6371000     		dr = 145.895900000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59738964--0.59734171) × cos(-1.07256083) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.477876295825842 × 6371000     		do = 145.925275782349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59738964--0.59734171) × cos(-1.07258373) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.477856179718963 × 6371000     		du = 145.919133087117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07256083)-sin(-1.07258373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477876295825842-0.477856179718963)×R²
    abs(-0.59734171--0.59738964)×2.01161068787981e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.01161068787981e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.01161068787981e-05×40589641000000     		ar = 21289.4513469171m²