Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53073 / 94542
↖ ↑ ↗
← S 62.039562°
W 34.230652°		 ← 143.20 m → S 62.039562°
W 34.227905°		 →
↑
143.16 m
↓
↑
143.16 m
↓
S 62.040850°
W 34.230652°		 ← 143.20 m →
20 500 m²		 S 62.040850°
W 34.227905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404918670654297 y=0.721302032470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404918670654297 × 217)
    floor (0.404918670654297 × 131072)
    floor (53073.5)     		tx = 53073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721302032470703 × 217)
    floor (0.721302032470703 × 131072)
    floor (94542.5)     		ty = 94542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53073 / 94542 ti = "17/53073/94542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53073/94542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53073 ÷ 217
    53073 ÷ 131072     		x = 0.404914855957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94542 ÷ 217
    94542 ÷ 131072     		y = 0.721298217773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404914855957031 × 2 - 1) × π
    -0.190170288085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.59743758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721298217773438 × 2 - 1) × π
    -0.442596435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.39045771037935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59743758} λ = -0.59743758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39045771037935))-π/2
    2×atan(0.248961326366006)-π/2
    2×0.244000849281851-π/2
    0.488001698563702-1.57079632675     		φ = -1.08279463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59743758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.230652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08279463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.039562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53073 KachelY 94542 -0.59743758 -1.08279463 -34.230652 -62.039562
    Oben rechts KachelX + 1 53074 KachelY 94542 -0.59738964 -1.08279463 -34.227905 -62.039562
    Unten links KachelX 53073 KachelY + 1 94543 -0.59743758 -1.08281710 -34.230652 -62.040850
    Unten rechts KachelX + 1 53074 KachelY + 1 94543 -0.59738964 -1.08281710 -34.227905 -62.040850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08279463--1.08281710) × R
    2.24699999999967e-05 × 6371000     		dl = 143.156369999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08279463--1.08281710) × R
    2.24699999999967e-05 × 6371000     		dr = 143.156369999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59743758--0.59738964) × cos(-1.08279463) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.468861781110251 × 6371000     		do = 143.202456453223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59743758--0.59738964) × cos(-1.08281710) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.468841933880171 × 6371000     		du = 143.196394598288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08279463)-sin(-1.08281710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468861781110251-0.468841933880171)×R²
    abs(-0.59738964--0.59743758)×1.9847230080694e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9847230080694e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9847230080694e-05×40589641000000     		ar = 20499.9099452619m²