Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53072 / 94575
↖ ↑ ↗
← S 62.082029°
W 34.233399°		 ← 143 m → S 62.082029°
W 34.230652°		 →
↑
142.97 m
↓
↑
142.97 m
↓
S 62.083315°
W 34.233399°		 ← 143 m →
20 444 m²		 S 62.083315°
W 34.230652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404911041259766 y=0.721553802490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404911041259766 × 217)
    floor (0.404911041259766 × 131072)
    floor (53072.5)     		tx = 53072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721553802490234 × 217)
    floor (0.721553802490234 × 131072)
    floor (94575.5)     		ty = 94575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53072 / 94575 ti = "17/53072/94575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53072/94575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53072 ÷ 217
    53072 ÷ 131072     		x = 0.4049072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94575 ÷ 217
    94575 ÷ 131072     		y = 0.721549987792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4049072265625 × 2 - 1) × π
    -0.190185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59748552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721549987792969 × 2 - 1) × π
    -0.443099975585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.39203962806681
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59748552} λ = -0.59748552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39203962806681))-π/2
    2×atan(0.248567801384463)-π/2
    2×0.243630257909404-π/2
    0.487260515818808-1.57079632675     		φ = -1.08353581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59748552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.233399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08353581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.082029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53072 KachelY 94575 -0.59748552 -1.08353581 -34.233399 -62.082029
    Oben rechts KachelX + 1 53073 KachelY 94575 -0.59743758 -1.08353581 -34.230652 -62.082029
    Unten links KachelX 53072 KachelY + 1 94576 -0.59748552 -1.08355825 -34.233399 -62.083315
    Unten rechts KachelX + 1 53073 KachelY + 1 94576 -0.59743758 -1.08355825 -34.230652 -62.083315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08353581--1.08355825) × R
    2.24399999999569e-05 × 6371000     		dl = 142.965239999726m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08353581--1.08355825) × R
    2.24399999999569e-05 × 6371000     		dr = 142.965239999726m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59748552--0.59743758) × cos(-1.08353581) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.468206989179022 × 6371000     		do = 143.002466143081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59748552--0.59743758) × cos(-1.08355825) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.468187160654867 × 6371000     		du = 142.996410001418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08353581)-sin(-1.08355825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468206989179022-0.468187160654867)×R²
    abs(-0.59743758--0.59748552)×1.98285241548302e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98285241548302e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98285241548302e-05×40589641000000     		ar = 20443.9489846679m²