Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53072 / 94092
↖ ↑ ↗
← S 61.454521°
W 34.233399°		 ← 145.95 m → S 61.454521°
W 34.230652°		 →
↑
145.96 m
↓
↑
145.96 m
↓
S 61.455834°
W 34.233399°		 ← 145.94 m →
21 302 m²		 S 61.455834°
W 34.230652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404911041259766 y=0.717868804931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404911041259766 × 217)
    floor (0.404911041259766 × 131072)
    floor (53072.5)     		tx = 53072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717868804931641 × 217)
    floor (0.717868804931641 × 131072)
    floor (94092.5)     		ty = 94092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53072 / 94092 ti = "17/53072/94092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53072/94092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53072 ÷ 217
    53072 ÷ 131072     		x = 0.4049072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94092 ÷ 217
    94092 ÷ 131072     		y = 0.717864990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4049072265625 × 2 - 1) × π
    -0.190185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59748552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717864990234375 × 2 - 1) × π
    -0.43572998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.36888610555032
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59748552} λ = -0.59748552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36888610555032))-π/2
    2×atan(0.254390165586202)-π/2
    2×0.24910629644965-π/2
    0.4982125928993-1.57079632675     		φ = -1.07258373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59748552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.233399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07258373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.454521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53072 KachelY 94092 -0.59748552 -1.07258373 -34.233399 -61.454521
    Oben rechts KachelX + 1 53073 KachelY 94092 -0.59743758 -1.07258373 -34.230652 -61.454521
    Unten links KachelX 53072 KachelY + 1 94093 -0.59748552 -1.07260664 -34.233399 -61.455834
    Unten rechts KachelX + 1 53073 KachelY + 1 94093 -0.59743758 -1.07260664 -34.230652 -61.455834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07258373--1.07260664) × R
    2.29099999999871e-05 × 6371000     		dl = 145.959609999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07258373--1.07260664) × R
    2.29099999999871e-05 × 6371000     		dr = 145.959609999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59748552--0.59743758) × cos(-1.07258373) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.477856179718963 × 6371000     		do = 145.949577304142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59748552--0.59743758) × cos(-1.07260664) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.477836054577001 × 6371000     		du = 145.943430567765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07258373)-sin(-1.07260664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477856179718963-0.477836054577001)×R²
    abs(-0.59743758--0.59748552)×2.01251419616466e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01251419616466e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01251419616466e-05×40589641000000     		ar = 21302.2947962692m²