Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53072 / 49997
↖ ↑ ↗
← S 68.295811°
E111.533203°		 ← 225.88 m → S 68.295811°
E111.538696°		 →
↑
225.85 m
↓
↑
225.85 m
↓
S 68.297842°
E111.533203°		 ← 225.86 m →
51 013 m²		 S 68.297842°
E111.538696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809822082519531 y=0.762901306152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809822082519531 × 216)
    floor (0.809822082519531 × 65536)
    floor (53072.5)     		tx = 53072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762901306152344 × 216)
    floor (0.762901306152344 × 65536)
    floor (49997.5)     		ty = 49997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53072 / 49997 ti = "16/53072/49997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53072/49997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53072 ÷ 216
    53072 ÷ 65536     		x = 0.809814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49997 ÷ 216
    49997 ÷ 65536     		y = 0.762893676757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809814453125 × 2 - 1) × π
    0.61962890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.94662162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762893676757812 × 2 - 1) × π
    -0.525787353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65180968710789
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94662162} λ = 1.94662162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65180968710789))-π/2
    2×atan(0.191702672666032)-π/2
    2×0.189404779893408-π/2
    0.378809559786817-1.57079632675     		φ = -1.19198677
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94662162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.533203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19198677 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.295811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53072 KachelY 49997 1.94662162 -1.19198677 111.533203 -68.295811
    Oben rechts KachelX + 1 53073 KachelY 49997 1.94671749 -1.19198677 111.538696 -68.295811
    Unten links KachelX 53072 KachelY + 1 49998 1.94662162 -1.19202222 111.533203 -68.297842
    Unten rechts KachelX + 1 53073 KachelY + 1 49998 1.94671749 -1.19202222 111.538696 -68.297842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19198677--1.19202222) × R
    3.54499999999369e-05 × 6371000     		dl = 225.851949999598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19198677--1.19202222) × R
    3.54499999999369e-05 × 6371000     		dr = 225.851949999598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94662162-1.94671749) × cos(-1.19198677) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.369814684342985 × 6371000     		do = 225.878286363101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94662162-1.94671749) × cos(-1.19202222) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.369781747319324 × 6371000     		du = 225.858168831869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19198677)-sin(-1.19202222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369814684342985-0.369781747319324)×R²
    abs(1.94671749-1.94662162)×3.29370236600846e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.29370236600846e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.29370236600846e-05×40589641000000     		ar = 51012.7796512583m²