Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53071 / 94577
↖ ↑ ↗
← S 62.084601°
W 34.236145°		 ← 142.96 m → S 62.084601°
W 34.233399°		 →
↑
142.97 m
↓
↑
142.97 m
↓
S 62.085887°
W 34.236145°		 ← 142.95 m →
20 438 m²		 S 62.085887°
W 34.233399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404903411865234 y=0.721569061279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404903411865234 × 217)
    floor (0.404903411865234 × 131072)
    floor (53071.5)     		tx = 53071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721569061279297 × 217)
    floor (0.721569061279297 × 131072)
    floor (94577.5)     		ty = 94577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53071 / 94577 ti = "17/53071/94577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53071/94577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53071 ÷ 217
    53071 ÷ 131072     		x = 0.404899597167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94577 ÷ 217
    94577 ÷ 131072     		y = 0.721565246582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404899597167969 × 2 - 1) × π
    -0.190200805664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.59753345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721565246582031 × 2 - 1) × π
    -0.443130493164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.39213550186605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59753345} λ = -0.59753345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39213550186605))-π/2
    2×atan(0.24854397138733)-π/2
    2×0.243607814468682-π/2
    0.487215628937365-1.57079632675     		φ = -1.08358070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59753345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.236145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08358070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.084601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53071 KachelY 94577 -0.59753345 -1.08358070 -34.236145 -62.084601
    Oben rechts KachelX + 1 53072 KachelY 94577 -0.59748552 -1.08358070 -34.233399 -62.084601
    Unten links KachelX 53071 KachelY + 1 94578 -0.59753345 -1.08360314 -34.236145 -62.085887
    Unten rechts KachelX + 1 53072 KachelY + 1 94578 -0.59748552 -1.08360314 -34.233399 -62.085887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08358070--1.08360314) × R
    2.24399999999569e-05 × 6371000     		dl = 142.965239999726m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08358070--1.08360314) × R
    2.24399999999569e-05 × 6371000     		dr = 142.965239999726m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59753345--0.59748552) × cos(-1.08358070) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.468167323058557 × 6371000     		do = 142.960524148914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59753345--0.59748552) × cos(-1.08360314) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.468147494062792 × 6371000     		du = 142.954469126515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08358070)-sin(-1.08360314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468167323058557-0.468147494062792)×R²
    abs(-0.59748552--0.59753345)×1.98289957645259e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.98289957645259e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.98289957645259e-05×40589641000000     		ar = 20437.9528175135m²